Absolutní kontinuita

Absolutní spojitost je vlastnost funkcí a měřítek v matematické analýze , což je neformálně řečeno naplněním Newton-Leibnizovy věty o spojení mezi integrací a diferenciací . Obvykle je tato věta formulována v podmínkách Riemannova integrálu a zahrnuje ve svých podmínkách integrovatelnost derivace ve smyslu Riemanna. Při přechodu na obecnější Lebesgueův integrál se přirozený požadavek na existenci měřitelné derivace téměř všude stává příliš slabým, a aby vztah podobný Newtonově-Leibnizově větě platil, je zapotřebí jemnější podmínka, tj. volala absolutní kontinuita . Tento koncept je přenesen do opatření pomocí derivátu Radon-Nikodim .

Absolutně spojité funkce

Funkce se nazývá absolutně spojitá funkce na konečném nebo nekonečném intervalu , pokud pro jakoukoli existuje taková , že pro jakoukoli konečnou množinu párových disjunktních intervalů oboru funkce splňující podmínku je splněna nerovnost [1] . $f\left(x\right)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\left(x_{i},y_{i}\vpravo)$ $F$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

Funkce, která je absolutně spojitá na intervalu , je rovnoměrně spojitá , a proto spojitá . Opak není pravdou.

Vlastnosti

Každá absolutně spojitá funkce má omezenou variaci na intervalech konečné délky .

Absolutně spojité funkce tvoří vektorový prostor . Navíc tvoří uzavřený podprostor v prostoru funkcí ohraničené variace.

Součin funkcí, které jsou absolutně spojité na intervalu konečné délky, dává absolutně spojitou funkci.

Každou absolutně spojitou funkci lze znázornit jako rozdíl dvou neklesajících absolutně spojitých funkcí.

Nechte absolutně spojitou funkci na . Pak je to rozlišitelné skoro všude; zobecněná derivace je Lebesgueova integrovatelná a rovnost platí pro všechny : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\in[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Naopak funkce, která má Lebesgueovu integrovatelnou zobecněnou derivaci na intervalu, je na něm absolutně spojitá, až do množiny Lebesgueovy míry nula.

Je-li funkce absolutně spojitá na segmentu a absolutně spojitá na segmentu obsahujícím všechny hodnoty , pak aby superpozice byla absolutně spojitá, je nutné a postačující, aby byla funkcí omezené variace ( Fichtengolzův teorém ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Každá absolutně spojitá funkce má vlastnost Luzin .
Variace absolutně spojité funkce je absolutně spojitá. $V_{a}^{x}(f)$ $F$
Nechť a být absolutně spojité na , pak pro ně platí klasický vzorec pro integraci po částech. $F$ $G$ $[a,b]$
Nechť je diferencovatelný v každém bodě segmentu (je důležité, aby přesně v každém bodě) a integrovatelný na ve smyslu Lebesguea, pak je absolutně spojitý. $F$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $F$

Příklady

Jakákoli Lipschitzova funkce je absolutně nepřetržitá.

Následující funkce jsou spojité, ale ne absolutně spojité

funkce Cantor ;
funkce

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{ případy}}

na konečných intervalech obsahujících 0;

funkce na neomezených intervalech. $f(x)=x^{2}$

Viz také

Poznámky

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Reálná a funkční analýza: vysokoškolský kurz. - M.-Iževsk: Výzkumné centrum "Regulární a chaotická dynamika", Ústav počítačového výzkumu, 2009. - S. 188. - 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatura

Nikolsky S.M. Kurz matematické analýzy. - 3. — M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 str. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.