Funkční variace

V matematické analýze je variace funkce numerická charakteristika funkce jedné reálné proměnné, spojená s jejími diferenciálními vlastnostmi. Pro funkci z úsečky na reálné přímce je in zobecněním pojmu délky křivky, uvedené v této funkci. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Definice

Nechte _ Pak má variace (také celková variace nebo celková změna ) funkce na segmentu následující hodnotu: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $F$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

tedy nejmenší horní mez přes všechny oddíly segmentu délek přerušovaných čar v , jejichž konce odpovídají hodnotám v bodech oddílů. $P$ $[a,\;b]$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F$

Související definice

Funkce, jejichž variace je omezena na segment, se nazývají funkce omezené variace a třída takových funkcí je označována nebo jednoduše . $V[a,\;b]$ $PROTI$
- V tomto případě je funkce definována jako celková variační funkce pro . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $F$
Kladná variace funkce reálné hodnoty na segmentu se nazývá následující veličina: $F$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
Záporná variace funkce je definována podobně : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Celková variace funkce tak může být reprezentována jako součet $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Vlastnosti funkcí omezené variace

Součet a součin funkcí omezené variace bude mít také omezenou variaci. Podíl dvou funkcí z bude mít omezenou variaci (jinými slovy patří do třídy ), pokud je absolutní hodnota jmenovatele větší než kladná konstanta na intervalu . $PROTI$ $PROTI$ $[a,\;b]$
Pokud , a , pak . $a<x\leqslant y<b$ $f\in V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Pokud je funkce spojitá v bodě napravo a patří do , pak . $F$ $A$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{x\to a{+}}}v(x)=0$
Funkce daná na intervalu je funkcí omezené variace právě tehdy, když ji lze reprezentovat jako součet rostoucích a klesajících funkcí ( Jordánská expanze ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Jakákoli funkce ohraničené variace je omezená a nemůže mít více než spočetnou množinu bodů nespojitosti a všechny jsou prvního druhu.
Funkce omezené variace může být reprezentována jako součet absolutně spojité funkce , singulární funkce a skokové funkce ( Lebesgueova expanze ).

Všechny tyto vlastnosti založil Jordan [1] [2] .

Výpočet variace

Variace spojitě diferencovatelné funkce

Pokud funkce patří do třídy , to znamená, že má spojitou derivaci prvního řádu na segmentu , pak je funkcí omezené variace na tomto segmentu a variace se vypočítá podle vzorce: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $C^1$ $[a,\;b]$ $F$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

to znamená, že se rovná integrálu normy derivace.

Historie

Funkce ohraničené variace studoval C. Jordan [1] .

Zpočátku třídu funkcí s omezenou variací zavedl K. Jordan v souvislosti se zobecněním Dirichletova kritéria pro konvergenci Fourierových řad po částech monotónních funkcí. Jordan dokázal, že Fourierova řada -periodických funkcí třídy konverguje v každém bodě reálné osy. V budoucnu však funkce omezené variace našly široké uplatnění v různých oblastech matematiky, zejména v teorii Stieltjesova integrálu . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Variace a zobecnění

Délka křivky je definována jako přirozené zobecnění variace na případ zobrazení do metrického prostoru.

V případě více proměnných existuje několik různých definic variace funkce:
- Fréchet variace ,
- plochá variace Tonelli .

Φ-variace funkce

Uvažuje se také o třídě , která je definována takto: $V_{\Phi }[a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{a\leqslant x\leqslant b}}\ součet \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

kde ( ) je spojitá funkce, která je kladná jako monotónně rostoucí; $\Phi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ je libovolné rozdělení segmentu . $[a,\;b]$

Veličina se nazývá -variace funkce na segmentu . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Phi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Jestliže , pak má funkce omezenou -variaci na intervalu . Třída všech takových funkcí je označena nebo jednoduše jako [3] . Definici třídy navrhl L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Phi$ $[a,\;b]$ $V_{\Phi }[a,\;b]$ $V_{\Phi }$ $V_{\Phi }[a,\;b]$

Třídy Jordan jsou zvláštním případem tříd Yang a . Pokud pro , pak se získají třídy N. Wiener [5] ( N. Wiener ). $\Phi (x)=x$ $\Phi (x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Vlastnosti

Pokud vezmeme v úvahu dvě funkce a tak $\Phi _{1}(x)$ $\Phi _{2}(x)$

\varlimsup _{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)))<\infty ,

pak pro jejich -variace platí následující vztah: $\Phi$

V_{{\Phi _{2}}}[a,\;b]\podmnožina V_{{\Phi _{1}}}[a,\;b].

Zejména,

V_{{x^{p))}\podmnožina V_{{x^{q))}\podmnožina V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\podmnožina V_{{\exp (-x^{{-\beta }})}}

v . $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Viz také

Literatura

Lebesgue, A. Integrace a hledání primitivních funkcí / Per. z francouzštiny - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 s.
Natanson, I. P. Teorie funkcí reálné proměnné. - M. : Nauka, 1974. - 484 s.
Bari, N. K. Trigonometrické řady. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - 936 s.

Poznámky

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - č. 5. - str. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Teorie funkcí reálné proměnné. - M .: Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 s.
↑ Bari, N. K. Trigonometrické řady. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - S. 287. - 936 s.
↑ Mladý L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - č. 7. - str. 470-472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - str. 72-94.