Fréchetova variace

Fréchetova variace je jednou z numerických charakteristik funkce několika proměnných, kterou lze považovat za vícerozměrnou analogii variace funkce jedné proměnné .

Definice

Fréchetova variace je definována jako:

F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\součet _{{r_{1}=0}}^{{l_{1}-1}}\sum _{{r_{2}=0}}^{{l_{2}-1}}\ldots \sum _{{r_{n}=0}}^{{l_{n}-1}}\varepsilon _{n}^{{(r_{1})}}\varepsilon _{n}^{(r_ {2})}}\ldots \varepsilon _{n}^{{(r_{n})}}\times \right.

\times \Delta _{{h_{1}^{{(r_{1})}}h_{2}^{{(r_{2})}}\ldots h_{n}^{{(r_{n })}}}}(f;\;x_{1}^{{(r_{1})}},\;x_{2}^{{(r_{2})}},\;\ldots, \;x_{n}^{{(r_{n})))){\Bigg |},

kde je funkce skutečné hodnoty definovaná na -rozměrném boxu $f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ $D_{n}$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n }];

$\Pí$ je libovolné rozdělení kvádru nadrovinami tak, že $D_{n}$ $x_{s}=x_{s}^{{(r_{s})}}$

x_{s}^{{(0)}}=a_{s}

a , _

x_{s}^{{(l_{s})}}=b_{s}

x_{s}^{{(r_{s})}}<x_{s}^{{(r_{s}+1)}}

kde ,. _

r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}

s=1,\;2,\;\ldots ,\;n

$h_{s}^{{(r_{s})}}=x_{s}^{{(r_{s}+1)}}-x_{s}^{{(r_{s})}}$ - krok štípání;

$\Delta _{{h_{k}}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k}, \;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n} )$ ( ) je přírůstek funkce podél -té souřadnice; $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $x_k$

$\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}}(f;\;x)=\Delta _{{h_{k}}}(\Delta _{{h_{1} h_{2}\ldots h_{{k-1}}}};\;x)$ je zobecněný přírůstek funkce v prvních souřadnicích ( ); $k$ $k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$

$\varepsilon _{k}^{{(r_{k})}}=\pm 1$ ( ) svévolně. $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

Aplikace

Jestliže , pak se říká, že funkce má omezenou (konečnou) Fréchetovu variaci na . Třída všech takových funkcí je označena . $F(f;\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $F(D_{n})$

Tuto třídu zavedl M. Fréchet [1] v souvislosti se studiem obecného tvaru bilineárního spojitého funkcionálu v prostoru funkcí tvaru spojitého na čtverci . Dokázal, že každý takový funkcional může být zastoupen ve formě $n=2$ $U(\varphi _{1},\varphi _{2})$ $Q_{2}=[a,\;b]\krát [a,\;b]$ $\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$

U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}( x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{{x_{l}}}d_{{x_{2}}}u(x_{1},\;x_{2} ),

kde ,. _ $u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})$ $u(a,\;x_{2})\ekviv u(x_{1},\;b)\ekviv 0$

Později se ukázalo, že pro -periodické funkce třídy ( ) platí analogy mnoha klasických kritérií pro konvergenci Fourierových řad [2] . Pokud tedy například , , pak pravoúhlé částečné součty Fourierovy řady funkce v každém bodě konvergují k číslu $2\pi$ $f(Q_{n})$ $Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$ $f(x)\in F(Q_{n})$ $n=2,\;3,\;\ldots$ $f(x)$ $x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$

{\frac {1}{2^{n))}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0 ),

kde se součet vztahuje na všechny možné kombinace znaků . Navíc, pokud je funkce spojitá, pak je konvergence rovnoměrná. Toto je analogie znamení Jordan . $2^{n}$ $\odpoledne$

Literatura

Kantorovich, L. V., Akilov, G. P. Funkční analýza . - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2004. - 816 s. — ISBN 5-94157-597-1 . .

Viz také

Funkční variace
Artzelova variace
Variace Vitali
Pierpontova variace
Plochá variace Tonelli
Hardy variace

Poznámky

↑ Frechet M. Transactions of the American Mathematical Society. - 1915. - v. 16. - č. 3. - str. 215-234.
↑ Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1949. - v. 35. - č. 7. - str. 395-399.