Stupně volnosti (teorie pravděpodobnosti)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. října 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Počet stupňů volnosti je počet hodnot v konečném statistickém výpočtu , které se mohou lišit. Jinými slovy, počet stupňů volnosti ukazuje rozměr vektoru náhodných veličin, počet „volných“ proměnných potřebných k úplné definici vektoru.

Počet stupňů volnosti může být nejen přirozené číslo , ale také libovolné reálné číslo, ačkoli standardní tabulky počítají p-hodnotu nejběžnějších rozdělení pouze pro přirozený počet stupňů volnosti.

Stupně volnosti distribuce

Chí-kvadrát

Pokud jsou náhodné veličiny nezávislé a všechny mají standardní normální rozdělení ( ), pak náhodná veličina , která je součtem druhých mocnin standardních normálních proměnných v počtu kusů, má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti. ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}} (0;1)$ $X$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Studentova t distribuce

Pokud má náhodná veličina standardní normální rozdělení ( ), náhodná veličina má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti ( ) a a jsou nezávislé (jejich korelace je nulová), pak náhodná veličina má Studentovo rozdělení se stupni volnosti ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}} (0;1)$ $X$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $X$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}}\sim t_ {n}$

Distribuce Fisher-Snedecor

Pokud má náhodná proměnná chí -kvadrát rozdělení se stupni volnosti a náhodná proměnná má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti, pak náhodná proměnná má Fisherovo - Snedekorovo rozdělení se stupni volnosti ( ): $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Pokud , tak . $m\rightarrow\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\rightarrow \chi _{n}^ {2}$
Pokud odmocníme náhodnou proměnnou, která má Studentovo rozdělení se stupni volnosti, pak bude mít Fisher-Snedekorovo rozdělení se stupni volnosti: $m$ $jeden$ $m$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ left({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Teorie pravděpodobnosti

Dovolit být jednorozměrná náhodná proměnná . Potom budou platit následující tvrzení o počtu stupňů volnosti : $X_{i}$

Náhodná veličina je distribuována podle zákona se stupni volnosti (v tomto případě často pomocí výběrového rozptylu ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hat \sigma }^{2}$
Na základě výše uvedeného zápisu lze tvrdit, že náhodná veličina má Studentovo rozdělení se stupni volnosti ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\displaystyle t_{n-1))$
Náhodná veličina je rozdělena podle zákona se stupni volnosti. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
Náhodná veličina je rozdělena podle standardního normálního zákona ( ), kde je skutečný rozptyl náhodné veličiny . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}} (0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $X$

Nahrazení náhodné veličiny jejím skutečným matematickým očekáváním dává zvýšení o jeden stupeň volnosti z následujícího důvodu. Uvažujme náhodnou proměnnou . Další, . Proto existují kousky závislých náhodných proměnných. Proto jsou kusy veličin nezávislé, proto ve vzorci s v čitateli je o jeden stupeň volnosti méně než ve vzorci se skutečným matematickým očekáváním. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\součet \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bar X$

Regresní analýza

Při regresní analýze metodou nejmenších čtverců se pozorování porovnávají s vypočtenými hodnotami (získanými z regresní rovnice). Pokud je aritmetický průměr všech pozorování, pak v souladu s vícerozměrnou Pythagorovou větou platí rovnost: $Y_{i}$ ${\hat Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Současně (Celkový součet čtverců) je rozdělen jako se stupni volnosti, (Odhadovaný součet čtverců; nezaměňovat s Chyba!) je rozdělen jako s jedním stupněm volnosti, (Zbytkový součet čtverců; nesmí být zaměňovat s regresí!) je distribuován jako u stupňů volnosti . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$