Počet stupňů volnosti je počet hodnot v konečném statistickém výpočtu , které se mohou lišit. Jinými slovy, počet stupňů volnosti ukazuje rozměr vektoru náhodných veličin, počet „volných“ proměnných potřebných k úplné definici vektoru.
Počet stupňů volnosti může být nejen přirozené číslo , ale také libovolné reálné číslo, ačkoli standardní tabulky počítají p-hodnotu nejběžnějších rozdělení pouze pro přirozený počet stupňů volnosti.
Pokud jsou náhodné veličiny nezávislé a všechny mají standardní normální rozdělení ( ), pak náhodná veličina , která je součtem druhých mocnin standardních normálních proměnných v počtu kusů, má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti. ( ):
Pokud má náhodná veličina standardní normální rozdělení ( ), náhodná veličina má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti ( ) a a jsou nezávislé (jejich korelace je nulová), pak náhodná veličina má Studentovo rozdělení se stupni volnosti ( ):
Pokud má náhodná proměnná chí -kvadrát rozdělení se stupni volnosti a náhodná proměnná má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti, pak náhodná proměnná má Fisherovo - Snedekorovo rozdělení se stupni volnosti ( ):
Dovolit být jednorozměrná náhodná proměnná . Potom budou platit následující tvrzení o počtu stupňů volnosti :
Nahrazení náhodné veličiny jejím skutečným matematickým očekáváním dává zvýšení o jeden stupeň volnosti z následujícího důvodu. Uvažujme náhodnou proměnnou . Další, . Proto existují kousky závislých náhodných proměnných. Proto jsou kusy veličin nezávislé, proto ve vzorci s v čitateli je o jeden stupeň volnosti méně než ve vzorci se skutečným matematickým očekáváním.
Při regresní analýze metodou nejmenších čtverců se pozorování porovnávají s vypočtenými hodnotami (získanými z regresní rovnice). Pokud je aritmetický průměr všech pozorování, pak v souladu s vícerozměrnou Pythagorovou větou platí rovnost:
Současně (Celkový součet čtverců) je rozdělen jako se stupni volnosti, (Odhadovaný součet čtverců; nezaměňovat s Chyba!) je rozdělen jako s jedním stupněm volnosti, (Zbytkový součet čtverců; nesmí být zaměňovat s regresí!) je distribuován jako u stupňů volnosti .