Eliptická funkce

Eliptická funkce je v komplexní analýze funkce, která je periodická ve dvou směrech a je definována v komplexní rovině. Elliptické funkce lze považovat za analogy goniometrických funkcí (mají pouze jednu periodu). Historicky byly eliptické funkce objeveny jako inverzní funkce eliptických integrálů .

Definice

Eliptická funkce je meromorfní funkce definovaná na definičním oboru, pro který existují dvě nenulová komplexní čísla a taková, že $F$ $\mathbb {C}$ $A$ $b$

f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,

a kvocient také není reálné číslo. ${\frac {a}{b))$

Z toho vyplývá, že pro libovolná celá čísla a $m$ $n$

f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C

Jakékoli komplexní číslo , např $\omega$

f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,

se nazývá perioda funkce . Pokud jsou tečky a takové, že jakékoli lze zapsat jako $F$ $A$ $b$ $\omega$

\omega =ma+nb,

nazývají se základní období . Každá eliptická funkce má dvojici základních period. $A$ $b$

Rovnoběžník s vrcholy v , , , se nazývá základní rovnoběžník . $\Pí$ $0$ $A$ $b$ $a+b$

Vlastnosti

Neexistují žádné nekonstantní celé eliptické funkce ( první Liouvilleova věta ).
Jestliže eliptická funkce nemá žádné póly na hranici rovnoběžníku , pak součet zbytků na všech pólech ležících uvnitř je roven nule (druhá Liouvilleova věta). $f(z)$ $\alpha +\pi$ $f(z)$ $\alpha +\pi$
Libovolná eliptická funkce s tečkami a může být reprezentována jako $A$ $b$ $f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),$

kde h , g jsou racionální funkce, je Weierstrassova funkce se stejnými periodami jako y . Pokud je navíc , je sudá funkce , pak to může být reprezentováno jako , kde h je racionální.

\wp (z)

f(z)

f(z)

{\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )))

Eliptické funkce jsou neelementární, to dokázal Jacobi ve 30. letech 19. století.

Viz také

Literatura

Eliptické funkce // E. Knapp. Eliptické křivky. — M.: Factorial Press, 2004.
Kapitola 11 // Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné. - M .: Státní vydání fyzikální a matematické literatury, 1960.