Goniometrické funkce

Goniometrické funkce jsou elementární funkce [1] , které historicky vznikly při uvažování pravoúhlých trojúhelníků a vyjadřovaly závislost délek stran těchto trojúhelníků na ostrých úhlech u přepony (resp. ekvivalentně závislost tětiv a výšek na středovém úhlu oblouku v kruhu ). Tyto funkce našly široké uplatnění v různých oblastech vědy. Jak se matematika vyvíjela, definice goniometrických funkcí byla rozšířena, v moderním smyslu jejich argumentem může být libovolné reálné nebo komplexní číslo .

Odvětví matematiky, které studuje vlastnosti goniometrických funkcí, se nazývá trigonometrie .

Goniometrické funkce se tradičně označují jako:

přímé goniometrické funkce:

sinus ( ); $\sin x$
kosinus ( ); $\cos x$

derivační goniometrické funkce:

tečna ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
kotangens ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

sečna ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
kosekant ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

inverzní goniometrické funkce :

arcsin, arckosin atd.

V typografii literatury v různých jazycích je zkratka pro goniometrické funkce odlišná, například v anglické literatuře se tangens, kotangens a kosekant značí , , . Před 2. světovou válkou byly v Německu a ve Francii tyto funkce označovány stejně, jak je zvykem v ruskojazyčných textech [2] , ale tehdy se v literatuře v jazycích těchto zemí používala anglická verze byl přijat záznam goniometrických funkcí. $\tan x$ $\cot x$ $\csc x$

Kromě těchto šesti dobře známých goniometrických funkcí se v literatuře někdy používají některé zřídka používané goniometrické funkce ( versinus atd.).

Sinus a kosinus reálného argumentu jsou periodické, spojité a nekonečně diferencovatelné funkce reálné hodnoty. Zbývající čtyři funkce na reálné ose mají také reálnou hodnotu, jsou periodické a nekonečně diferencovatelné, s výjimkou spočitatelného počtu nespojitostí druhého druhu : pro tečnu a sečnu v bodech a pro kotangens a kosekans, v bodech . Grafy goniometrických funkcí jsou na obr. 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Způsoby určení

Definice pro ostré rohy

V geometrii jsou goniometrické funkce ostrého úhlu určeny poměry stran pravoúhlého trojúhelníku [3] . Let - obdélníkový, s ostrým úhlem a přeponou . Pak: $\triangle AOB$ $\angle AOB=\alpha$ $OB$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (sinus úhlu je poměr protější větve k přeponě ); $\alpha$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě ); $\alpha$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (tangens úhlu je poměr protilehlého ramene k sousednímu); $\alpha$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (kotangens úhlu je poměr sousedního ramene k protějšímu); $\alpha$
$\mathrm {sec} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (sečna úhlu je poměr přepony k sousední větvi ); $\alpha$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (kosekans úhlu je poměr přepony k protější noze ). $\alpha$

Tato definice má určitou metodologickou výhodu, protože nevyžaduje zavedení pojmu souřadnicový systém, ale také tak velký nedostatek, že nelze určit goniometrické funkce ani pro tupé úhly, které je nutné znát při řešení elementárních úloh o tupé trojúhelníky. (Viz: sinusová věta , kosinová věta ).

Definice pro libovolné úhly

Obvykle jsou goniometrické funkce definovány geometricky [4] . V kartézském souřadnicovém systému v rovině sestrojíme kružnici o jednotkovém poloměru ( ) se středem v počátku souřadnic . Jakýkoli úhel budeme považovat za rotaci od kladného směru osy úsečky k určitému paprsku (zvolíme bod na kružnici), přičemž směr rotace považujeme za kladný proti směru hodinových ručiček a záporný ve směru hodinových ručiček. Značíme úsečku bodu , a pořadnici - (viz obrázek 2 ). $R=1$ $Ó$ $OB$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

Funkce definujeme takto:

$\sin \alpha =y_{B}$ , ; $\cos \alpha =x_{B}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{x_{B))))$ , . ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B))))$

Je snadné vidět, že taková definice je také založena na vztazích pravoúhlého trojúhelníku s tím rozdílem, že se bere v úvahu znaménko ( ). Proto lze goniometrické funkce definovat také na kružnici o libovolném poloměru , ale vzorce bude nutné normalizovat. Obrázek 3 ukazuje hodnoty goniometrických funkcí pro jednotkový kruh . $\pm 1$ $R$

V trigonometrii se ukazuje jako vhodné počítat úhly ne ve stupních, ale v radiánech . Úhel at tedy bude zapsán jako délka jednotkové kružnice . Úhel v je stejný a tak dále. Všimněte si, že úhel lišící se od na obrázku je ekvivalentní , takže dojdeme k závěru, že goniometrické funkce jsou periodické. ${\displaystyle 360^{\circ ))$ $2\pi$ $180^{\circ }$ $\pi$ $2\pi$ $\alpha$ $\alpha$

Nakonec definujeme goniometrické funkce reálného čísla jako goniometrické funkce úhlu, jehož radiánová míra je . $X$ $X$

Definice jako řešení diferenciálních rovnic

Sinus a kosinus lze definovat jako jediné funkce, jejichž druhé derivace jsou rovny funkcím samotným, brané se znaménkem mínus:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

To znamená, že je nastavte jako sudé (kosinové) a liché (sinusové) řešení diferenciální rovnice

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

s dalšími podmínkami: pro kosinus a pro sinus. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definice jako řešení funkcionálních rovnic

Funkce kosinus a sinus mohou být definovány [5] jako řešení ( resp .) soustavy funkcionálních rovnic : $F$ $G$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{array} \vpravo.$

za dalších podmínek:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ a v . $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$

Definice z hlediska řady

Pomocí geometrie a vlastností limit lze dokázat, že derivace sinu je rovna kosinu a že derivace kosinu je rovna mínus sinu. Pak můžete použít teorii Taylorovy řady a reprezentovat sinus a kosinus jako mocninné řady:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Pomocí těchto vzorců, stejně jako rovností a lze najít řadu rozšíření dalších goniometrických funkcí: $\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ $\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

kde

B_{n}

jsou Bernoulliho čísla ,

E_{n}

jsou Eulerova čísla .

Hodnoty goniometrických funkcí pro některé úhly

Hodnoty sinus, kosinus, tečna, kotangens, sečna a kosekans pro některé úhly jsou uvedeny v tabulce. (" " znamená, že funkce v zadaném bodě není definována a má ve svém okolí sklon k nekonečnu ). $\infty$

radiány	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2))$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
stupně	${\displaystyle 0^{\circ ))$	${\displaystyle 30^{\circ ))$	${\displaystyle 45^{\circ ))$	${\displaystyle 60^{\circ ))$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	${\displaystyle 180^{\circ ))$	$270^{\circ }$	${\displaystyle 360^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$jeden$	$0$	$-jeden$	$0$
$\cos\alpha$	$jeden$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$0$	$-jeden$	$0$	$jeden$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$0$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$jeden$	$\sqrt{3}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$jeden$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$jeden$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-jeden$	$\infty$	$jeden$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$jeden$	$\infty$	$-jeden$	$\infty$

Hodnoty goniometrických funkcí nestandardních úhlů

radiány	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
stupně	${\displaystyle 120^{\circ ))$	${\displaystyle 135^{\circ ))$	${\displaystyle 150^{\circ ))$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	$240^{\circ }$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	$330^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos\alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-jeden$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$jeden$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-jeden$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-jeden$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$jeden$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-jeden$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$

radiány	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
stupně	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\displaystyle 18^{\circ ))$	${\displaystyle 22{,}5^{\circ ))$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\displaystyle 54^{\circ ))$	${\displaystyle 67{,}5^{\circ ))$	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 75^{\circ ))$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$
$\cos\alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$

Hodnoty goniometrických funkcí pro některé další úhly

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt {5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3 }(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5 }+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5))))){2},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1,5^\circ = \operatorname{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\sqrt{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\tečky +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\tečky +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\tečky +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

Vlastnosti goniometrických funkcí

Nejjednodušší identity

Protože sinus a kosinus jsou pořadnice a úsečka bodu odpovídající úhlu α na jednotkové kružnici , pak podle rovnice jednotkové kružnice ( ) nebo Pythagorovy věty máme: $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Tento vztah se nazývá základní goniometrická identita .

Vydělením této rovnice druhou mocninou kosinu a sinu dostaneme:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sec} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Z definice tečny a kotangens vyplývá, že

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Libovolnou goniometrickou funkci lze vyjádřit pomocí jakékoli jiné goniometrické funkce se stejným argumentem (až po znaménko kvůli nejednoznačnosti rozvoje druhé odmocniny). Následující vzorce jsou správné pro : $0<x<\pi /2$

	hřích	cos	tg	ctg	sek	způsobit
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)){\sec x))$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x))$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	$\,{\frac {1}{\sec x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\operatorname {tg} x=$	${\displaystyle \,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatorname {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatorname {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}$	$\,\operatorname {ctg} x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,{\sqrt {\název operátora {cosec} ^{2}x-1))$
$\,\sec x=$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\cos x))$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,\sec x$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatorname {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,\operatorname {cosec} x$

Spojitost

Sinus a kosinus jsou spojité funkce .
Tečna a sečna mají zarážky , kde je jakékoli celé číslo . $\pi /2+\pi k$ $k$
Kotangens a kosekans mají body nespojitosti , kde je jakékoli celé číslo . $\pik$ $k$

Parita

Kosinus a sekans jsou sudé . Zbývající čtyři funkce jsou liché , to znamená:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodicita

Funkce jsou periodické s periodou , funkce a jsou s periodou . $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ $\mathrm {tg} \,x$ $\mathrm {ctg} \,x$ $\pi$

Odlévání vzorců

Redukční vzorce se nazývají vzorce následujícího tvaru:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Zde - libovolná goniometrická funkce, - její odpovídající kofunkce (tj. kosinus pro sinus, sinus pro kosinus, tangens pro kotangens, kotangens pro tečnu, secans pro kosekans a kosekans pro sekans), - celé číslo . Výsledné funkci předchází znaménko, které má původní funkce v dané čtvrtině souřadnic, za předpokladu, že úhel je ostrý, například: $F$ $G$ $n$ $\alpha$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

nebo co je to samé:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Některé licí vzorce:

$\alpha$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$2\,\pi - \alpha$
$\hřích\alfa$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\hřích\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos\alpha$	$\hřích\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\hřích\alfa$	$\cos\alpha$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\název operátora{ctg}\,\alpha$	$-\název operátora{tg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\název operátora{ctg}\,\alpha$	$-\název operátora{tg}\,\alpha$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\název operátora{tg}\,\alpha$	$-\název operátora{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\název operátora{tg}\,\alpha$	$-\název operátora{ctg}\,\alpha$

Redukční vzorce, které nás zajímají, lze také snadno získat uvažováním funkcí na jednotkové kružnici.

Vzorce pro sčítání a odčítání

Hodnoty goniometrických funkcí součtu a rozdílu dvou úhlů:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg }\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},

\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg }\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Podobné vzorce pro součet tří úhlů:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Vzorce pro více úhlů

Vzorce s dvojitým úhlem:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\ ,\alpha},

\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\ ,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

Vzorce s trojitým úhlem:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,

\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg} ^2\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2 \,\alpha - 1}.

Další vzorce pro více úhlů:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),

\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,

\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname {tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},

\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ ctg}^3\,\alpha - 4\,\název operátora{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg }^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},

\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg }^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

vyplývá z vzorce doplňku a Gaussova vzorce pro funkci gama .

Z De Moivreova vzorce lze získat následující obecné výrazy pro více úhlů:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ sin^{2k}\alpha,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

kde je celočíselná část čísla , je binomický koeficient . $[n]$ $n$ $\binom{n}{k}$

Vzorce polovičního úhlu:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Práce

Vzorce pro součiny funkcí dvou úhlů:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alpha+\beta)},

\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Podobné vzorce pro součiny sinů a kosinus tří úhlů:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gama) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma ) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Vzorce pro součiny tečen a kotangens tří úhlů lze získat dělením pravé a levé části odpovídajících rovností uvedených výše.

Stupně

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\název operátora {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ jméno operátora {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\jméno operátora {sin}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\název operátora {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},

\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},

\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Částky

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta )),

\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta )),

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Je tam pohled:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

kde úhel zjistíme ze vztahů: $\phi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2)))).

Univerzální trigonometrické substituce

Všechny goniometrické funkce lze vyjádřit pomocí tangens polovičního úhlu:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x))={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Zkoumání funkcí v matematické analýze

Rozklad na nekonečné produkty

Goniometrické funkce mohou být reprezentovány jako nekonečný součin polynomů:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\že jo),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\že jo).

Tyto vztahy platí pro jakoukoli hodnotu . $X$

Pokračovací zlomky

Rozšíření tečny na pokračující zlomek :

\mathop {\rm {tg)) x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Deriváty a antideriváty

Všechny goniometrické funkce jsou spojitě a neomezeně diferencovatelné v celé oblasti definice:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x ,$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\název operátora {tg} x,$

$( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Integrály goniometrických funkcí na definičním oboru jsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí následovně [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Goniometrické funkce komplexních argumentů

Definice

Eulerův vzorec :

e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .

Eulerův vzorec umožňuje definovat goniometrické funkce komplexních argumentů z hlediska exponentu analogicky s hyperbolickými funkcemi nebo (pomocí řady ) jako analytické pokračování jejich reálných protějšků:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\jméno operátora{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \název operátora{ch}iz;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

kde

i^{2}=-1.

V souladu s tím pro reálné x :

\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).

Komplexní sinus a kosinus úzce souvisí s hyperbolickými funkcemi :

\sin(x+iy)=\sin x\,\název operátora {ch} \,y+i\cos x\,\název operátora {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\název operátora {ch} \,yi\sin x\,\název operátora {sh} \,y.

Většina výše uvedených vlastností goniometrických funkcí je zachována i ve složitém případě. Některé další vlastnosti:

komplexní sinus a kosinus, na rozdíl od skutečných, mohou nabývat libovolně velkých hodnot v absolutní hodnotě;
všechny nuly komplexního sinusu a kosinusu leží na reálné ose.

Komplexní grafy

Následující grafy zobrazují barevně zvýrazněnou komplexní rovinu a hodnoty prvků. Jas odráží absolutní hodnotu (černá je nula). Barva se mění z argumentu a úhlu podle mapy .

Goniometrické funkce v komplexní rovině


$\sin \,z$	$\cos\,z$	$\operatorname {tg} \,z$	$\operatorname {ctg} \,z$	$\sec \,z$	$\operatorname {cosec} \,z$

Historie jmen

Sinusová čára (čára na obr. 2 ) byla původně indickými matematiky nazývána „arha-jiva“ („půlstruna“, tedy polovina tětivy tohoto oblouku, protože oblouk s tětivou připomíná smyčec s tětiva ). Poté bylo slovo „arha“ vypuštěno a sinusová čára byla jednoduše nazvána „jiva“. Arabští matematici, překládající indické knihy ze sanskrtu , nepřeložili slovo „jiva“ arabským slovem „vatar“ označujícím tětivu a akord, ale přepsali je arabskými písmeny a začali nazývat sinusovou čáru „jiba“ ( جيب ‎) . Vzhledem k tomu, že krátké samohlásky nejsou v arabštině označeny a dlouhé „a“ ve slově „jiba“ je označeno stejným způsobem jako polosamohláska „y“, začali Arabové vyslovovat název sinusové linie jako „jib“, což doslova znamená „deprese“, „prsa“. Při překladu arabských děl do latiny přeložili evropští překladatelé slovo „jaib“ latinským slovem sinus – „ sinus “, které má stejný význam (v tomto významu se používá jako anatomický výraz sinus ). Výraz " kosinus " ( lat. cosinus ) je zkratka pro lat. komplementi sinus - další sinus. $AB$

Moderní zkratky představené Williamem Oughtredem a Bonaventurou Cavalieri a zakotvené ve spisech Leonharda Eulera . $\hřích$ $\cos$

Termíny " tangens " ( lat. tangens - dotýkat se ) a " sekans " ( lat. secans - secant ) zavedl dánský matematik Thomas Fincke ve své knize Geometry of the Round ( Geometria rotundi , 1583).

Termín goniometrické funkce zavedl Klugel v roce 1770 .

Později byly zavedeny i termíny pro inverzní goniometrické funkce - arkussinus , arkosinus , arctangens , arckotangens , arcsecant , arccosecant - přidáním předpony " arc " (z lat . arcus - oblouk), - J. Lagrange a další.

Viz také

Literatura

Bermant A. F., Lyusternik L. A. Trigonometrie. — M.: Nauka, 1967.
Goniometrické funkce - článek z Velké sovětské encyklopedie . - M.: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Přímočará trigonometrie // Příručka matematiky . - Ed. 7., stereotypní. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight GB Goniometrické funkce // Tabulky integrálů a další matematické vzorce. - 4. vyd. - M .: Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kožeurov P.A. Trigonometrie. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevich A.I. Velké dutiny. — M.: Nauka, 1974.
Matematická encyklopedie / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. - M .: Sovětská encyklopedie, 1984. - I. M. Vinogradov. Goniometrické funkce // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
Goniometrické funkce // Encyklopedický slovník mladého matematika / Ed. collegium, Gnedenko B.V. (šéfredaktor), Savin A.P. a další - M .: Pedagogika , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 s., ill. - ISBN 5-7155-0218-7 (str. 342 , 343 - tabulky goniometrických funkcí 0 ° -90 °, včetně v radiánech)
Goniometrické funkce // Příručka matematiky (pro střední školy) / Tsypkin A. G., ed. Štěpánová S. A. - 3. vyd. — M.: Nauka, Ch. vydání Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 240-258. — 480 s.

Odkazy

GonioLab - objasněný jednotkový kruh, trigonometrické a hyperbolické funkce (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Trigonometrické funkce (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Online kalkulačka: výpočet hodnot goniometrických funkcí (včetně hledání úhlů trojúhelníku podle stran)
Interaktivní mapa hodnot goniometrických funkcí
Trigonometrické stoly (0° - 360°)
"Sinus a kosinus jsou procenta" - Jak se intuitivně naučit trigonometrii | Lepší vysvětlení _

Poznámky

↑ Příručka: Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro vědce a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s. Archivní kopie z 19. ledna 2015 na Wayback Machine je uvádí jako speciální funkce .
↑ Matematické znaménko. // Velká sovětská encyklopedie . 1. vyd. T. 27. - M., 1933.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 271-272.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 282-284.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Základy matematické analýzy. Část 1. - M . : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ Ve vzorcích obsahujících logaritmus na pravé straně rovností jsou integrační konstanty , obecně řečeno, různé pro různé intervaly spojitosti. $\scriptstyle C$

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNF : 12168469v GND : 4186137-1 J9U : 987007548881405171 LCCN : sh85137518 NDL : 00570156 NKC : ph923034

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty