Málo používané goniometrické funkce

Vzácně používané goniometrické funkce jsou úhlové funkce, které se dnes ve srovnání se šesti základními goniometrickými funkcemi (sinus, kosinus, tangens, kotangens, sečna a kosekans) používají jen zřídka. Tyto zahrnují:

Sinus-versus (jiné hláskování: versinus , sine versus , také nazývané "šipka oblouku" ). Definováno jakoPředstavuje vzdálenost od středu oblouku, měřenou dvojnásobkem daného úhlu, ke středu tětivy překrývající oblouk. Někdy se používají označení $\operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2)).$ $\operatorname {vers}\,\vartheta ,\quad \sin \,\operatorname {vers}\,\vartheta .$
Cosine-versus (jiné hláskování: coversine , cosine versus ). Definováno jako Někdy se používá zápis $\operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2))-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .$ $\operatorname {cvs} \,\vartheta ,\quad \cos \,\operatorname {vers} \,\vartheta .$
Haversinus ( lat. haversinus , zkratka pro polovinu veršovaného sinusu ). Definováno jako Také používaný zápis $\operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.$ $\operatorname {hav} \,\vartheta .$
Haverkosin ( lat. havercosinus , zkratka pro polovinu veršovaného kosinusu ). Definováno jako Také používaný zápis $\operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.$ $\operatorname {hac} \,\vartheta .$
Exekans ( lat. exsecant ) nebo exsekans . Definováno jako $\operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.$
Excosecant je doplňková funkce k exsekantu: $\operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2))-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -jeden.$

Použití

Versinus, coversine a haversine byly vhodné pro ruční výpočty pomocí logaritmů, protože jsou všude nezáporné, ale vzhledem k vývoji výpočetních nástrojů je tato oblast použití irelevantní. V současné době se tyto funkce používají k popisu odpovídajících signálů v elektronice (například ve funkčních generátorech). Haversine se také používá v navigačních výpočtech, aby se zabránilo zaokrouhlovacím chybám ve výpočetních systémech s omezenou bitovou hloubkou.

Sinus-versus

Definice

Sinus-versus je definován v termínech sinus a kosinus jako

\operatorname {versin}\,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right).

Sinus-versus spolu s kosinusem tvoří poloměr kružnice.

Vlastnosti

Versinus je periodická funkce s tečkou . Versine je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {versin}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Versine derivace

{\frac {d}{dz}}\operatorname {versin} \ z=\operatorname {sin} \ z

Antiderivative versinus

\int \operatorname {versin} \,z\,dz=z-\sin z+C

Kosinus versus

Definice

Kosinus-verzus je definován v termínech versine a sinus jako

\operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2))-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .

Vlastnosti

Verkosin je periodická funkce s tečkou . Verkosin je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {vercos}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Derivát verkosinu

{\frac {d}{dz}}\operatorname {vercos} \ z=-\operatorname {cos} \ z

Antiderivát verkosinu

\int \operatorname {vercos} \,z\,dz=z+\cos z+C

Haversine

Definice

Haversine je definován prostřednictvím versus-sinus a sinus jako

\operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.

Vlastnosti

Haversine je periodická funkce s tečkou . Haversine je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {haversin}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Haversinová derivace

{\frac {d}{dz}}\operatorname {haversin} \ z={\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}

Antiderivát haversinu

\int \operatorname {haversin} \,z\,dz=-{\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C

Haverkosin

Definice

Haverkosin je definován v termínech versus kosinus a kosinus jako

\operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.

Vlastnosti

Haverkosin je periodická funkce s tečkou . Haverkosin je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {havercos}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Derivát Haverkosinu

{\frac {d}{dz}}\operatorname {havercos} \ z=-{\frac {\operatorname {cos} \ z}{2}}

Antiderivát haverkosinu

\int \operatorname {havercos} \,z\,dz={\frac {\operatorname {cos} \,z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C

Provedení

Definice

Execant je definován jako sekant jako

\operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.

Vlastnosti

Exekant je periodická funkce s periodou . Exekant je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {exsec}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Derivát execantu

${\frac {d}{dz}}\operatorname {exsec} \ z=\operatorname {tg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z$

Antiderivative execance

\int \operatorname {exsec} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)+\sin \left ({\frac {z}{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)-\sin \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z+C

Excosekant

Definice

Exsekant je definován jako exekant a kosekans jako

\operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2))-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -jeden.

Vlastnosti

Exkosekant je periodická funkce s tečkou . Exosekant je definovaný, spojitý a nekonečně diferencovatelný pro všechna reálná čísla. $2\pi$

$\operatorname {excsc}$ lze použít v rovině komplexních čísel.

Derivát exsekantu

{\frac {d}{dz}}\operatorname {excsc} \ z=-\operatorname {ctg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z

Antiderivační exosekant

\int \operatorname {excsc} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\tan \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z +C

Odkazy

Články v encyklopedii Mathworld popisující execant , versinus , coversine , haversine , havercosine .
Výpočet vzdálenosti a počátečního azimutu mezi dvěma body na kouli .
Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body na kouli: Použití haversine v sql .

Viz také