Vícenásobný integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. prosince 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematické analýze je vícenásobný nebo vícenásobný integrál souborem integrálů vzatých z proměnných. Například: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Poznámka: násobný integrál je určitý integrál a při jeho výpočtu se vždy získá číslo.

Definice vícenásobného integrálu

Dovolit být měřitelná [ 1] množina n-rozměrného reálného prostoru, být funkce na . $B\sub \R^n$ $f:B\to\R$ $B$

Oddíl množiny $\sigma$ je množina párově disjunktních podmnožin , které se kombinují a dávají vše . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

Jemnost mezistěny je největší průměr ze sad . $\left| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\left| \sigma \right|=\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

Oddíl se nazývá konečný , pokud je konečnou množinou, a měřitelný , pokud jsou všechny jeho prvky měřitelné (v tomto případě podle Jordana) množiny.

Násobný (n-násobný) integrál funkce na množině je číslo (pokud existuje) takové, že bez ohledu na to, jak malé -okolí čísla , které nastavíme, vždy existuje takové rozdělení množiny a množiny mezilehlé body, že součet součinů hodnoty funkce v mezilehlém bodě dělení na rozdělovací míře bude spadat do tohoto okolí. Formálně: $F$ $B$ $já$ $\varepsilon$ $já$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \exists\delta>0

:: _

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\left| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Zde je míra sady . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Tato definice může být formulována v jiné formě pomocí integrálních součtů. Konkrétně pro daný oddíl a množinu bodů uvažujte celočíselný součet $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Vícenásobný integrál funkce je limita $f:B\do \R$

I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

pokud existuje. Limita je převzata množinou všech sekvencí oddílů s jemností klesající k 0. Tato definice se samozřejmě liší od té předchozí, vlastně jen použitým jazykem.

Integrál je označen takto:

Ve vektorové podobě [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Nebo vloží integrační ikony , zapíší funkci a diferenciály: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
Pro dvojný a trojný integrál se také používá zápis a , resp. $\int$ $\iiiint$

V moderních matematických a fyzikálních článcích se opakované použití znaku integrálu nepoužívá.

Takový násobný integrál se nazývá vlastní integrál .

V případě, že násobný integrál je stejný jako Riemannův integrál . $n=1$

Existence násobného integrálu

Dostatečné podmínky

Pokud je funkce spojitá na Jordanově měřitelné kompaktní množině, pak je na ní integrovatelná.
- Neohraničená funkce na množině nemusí být integrovatelná, i když je spojitá. Například funkce není integrovatelná na intervalu . $y=1/x$ $\left( 0;1 \right)$
Pokud je funkce definována na Jordanově měřitelné množině, která má libovolně malé oddíly, pro které je daná funkce neomezená na sjednocení všech jejich prvků kladné míry, pak tato funkce není na této množině integrovatelná.

Darbouxovo kritérium

Nechť jsou horní a dolní Darbouxovy integrály funkce na . Pak, pokud jsou horní a dolní Darbouxovy integrály stejné, pak je tato funkce integrovatelná na , a: $já^*$ $já_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Lebesgueovo kritérium

Nechť být Jordan měřitelný soubor. Funkce je integrovatelná, pokud: $G$ $G$

Funkce je omezena na . $G$
Funkce je spojitá , kde množina má nulovou Lebesgueovu míru . $G\setminus E$ $E$

Vlastnosti vícenásobných integrálů

Linearita ve funkci . Nechť měřitelné, funkční a integrovatelné na , pak $\G$ $\ f$ $\G$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Aditivita vzhledem k integrační množině . Nechte množiny a být měřitelné, a . Nechť je také funkce definovaná a integrovatelná na každé z množin a . Pak integrál nad existuje a je roven ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnonic$ $G_1\pohár G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonie ve funkci . Nechť měřitelně, funguje a je integrovatelný na , a . Pak $G$ $F$ $G$ $G$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\leq( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Integrální trojúhelníková nerovnost . Důsledek předchozí vlastnosti.

\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\vpravo| dX

Integrální věta o střední hodnotě . Buďme kompaktní, funkce je tedy spojitá a integrovatelná na $G$ $f(X)$ $G$

\existuje Y\v G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

Funkce konstanty je integrovatelná na jakoukoli měřitelnou množinu a $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

V důsledku toho, . $\ \int_G dX = \mu(G)$

Výpočet vícenásobných integrálů

Redukce násobného integrálu na iterativní

Nechť být měřitelná množina, být také měřitelná množina, být definována a integrovatelná na . Pak $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\left( X\right)$ $\G$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x} _{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ že jo)$ existuje všude na , kromě sady Lebesgueovy míry nula ( může být prázdné); $D$ $D_0$ $D_0$
existuje kde $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \ v D \zpětné lomítko D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}

nazýván iterovaný integrál funkce přes množinu ;

f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ vpravo)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Jakýkoli d-rozměrný integrál lze redukovat na d jednorozměrný.

Změna proměnných ve vícenásobném integrálu

Nechť je dáno bijektivní mapování , které transformuje doménu na : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_ {d}} \right) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

kde jsou "staré" souřadnice a jsou "nové" souřadnice. Dále nechť funkce definující zobrazení mají spojité parciální derivace prvního řádu v oboru, stejně jako omezený a nenulový jakobián $t$ $X$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d}} \right)}

Pak za podmínky, že integrál existuje

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots , {{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

platí vzorec pro změnu proměnných:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots , {{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots , {{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Použití symetrie

Pokud je integrační doména symetrická vzhledem k počátku souřadnic pro alespoň jednu z integračních proměnných a integrand je v této proměnné lichý , je integrál roven nule, protože integrály přes dvě poloviny integrační oblasti mají stejná absolutní hodnota, ale opačná znaménka. Je-li integrand sudý nad touto proměnnou, je integrál roven dvojnásobku integrálu přes jednu z polovin integrační oblasti, protože integrály nad každou z polovin jsou stejné.

Příklad 1. Nechť je funkce integrována přes doménu $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

kružnice o poloměru 1 se středem v počátku.

Pomocí vlastnosti linearity lze integrál rozložit na tři části:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sin( x ) a 3 y 3 jsou liché funkce a je také jasné, že disk T je symetrický jak podle osy x , tak podle osy y . Na konečném výsledku se tedy podílí pouze konstanta 5.

Příklad 2. Nechť funkci f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) integrujeme přes kouli o poloměru 2 se středem v počátku,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

"Kulička" je symetrická podél všech tří os, ale stačí integrovat podél osy x , aby se ukázalo, že integrál je 0, protože funkce je v této proměnné lichá.

Dvojitý integrál

Dvojitý integrál je násobný integrál s . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Zde je prvek plochy v uvažovaných souřadnicích.

\d\sigma

V pravoúhlých souřadnicích: , kde je prvek plochy v pravoúhlých souřadnicích. $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Geometrický význam dvojného integrálu

Nechte funkci nabývat pouze kladných hodnot v doméně. Potom se dvojný integrál numericky rovná objemu svislého válcového tělesa postaveného na podstavě a ohraničeného shora odpovídajícím kouskem plochy . $f\left(x,y\right)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::$ $\PROTI$ $\D$ $z=f\left( x,y\vpravo)$

Vyjádření dvojného integrálu pomocí polárních souřadnic

V některých případech je jednodušší vypočítat dvojný integrál nikoli v pravoúhlých, ale v polárních souřadnicích , protože v tomto případě může dojít k výraznému zjednodušení tvaru integrační oblasti a celého integračního procesu jako celku.

Aplikujeme větu o změně proměnných. Transformace odpovídající přechodu má tvar:

\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.

Modul jakobiánu zobrazení je . Tak to dostáváme $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

kde .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Zde je prvek plochy v polárních souřadnicích. $\rdrd\varphi$

Příklad přechodu do libovolného souřadnicového systému

Vypočítejme oblast regionu . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

Přepnutí na polární souřadnicový systém oblast neusnadní:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

Násobič před sinusem "ruší". V tomto případě lze přechod mírně upravit:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Tato transformace převede původní oblast na následující:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Jakobiánský displej:

\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r

Jacobiánský modul je také . $2r$

Odtud

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limity_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Výsledek je správný, protože plocha je ohraničena elipsou danou kanonickou rovnicí. Plochu lze vypočítat pomocí vzorce . Dosazením se ujistíme, že výpočet integrálu je správný. $\D$ $S=\pi ab$

Aplikace dvojných integrálů

Název hodnoty	Obecný výraz	Obdélníkové souřadnice	Polární souřadnice
Plocha ploché postavy	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Hmotnost tenké ploché desky hustota $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Plocha kusu povrchu $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\částečné y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\částečné z}{\částečné \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
Objem válcového tělesa, stojící v letadle $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Moment setrvačnosti ploché postavy $^{2)}$ o ose $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Moment setrvačnosti ploché postavy $^{2)}$ o ose $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Souřadnice těžiště homogenní deska $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{zarovnat}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Poznámky	1) Plocha - projekce do roviny ; do každého bodu plochy se promítá pouze jeden bod plochy; $G$ $XOY$ $\gamma$ je úhel mezi tečnou rovinou a rovinou . $XOY$ 2) V kombinaci s letadlem . $XOY$ 3) Nebo, což je stejné, vzhledem ke středu O.

Trojný integrál

Trojný integrál je násobný integrál s : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

kde je prvek objemu v uvažovaných souřadnicích. $\dV$

Vyjádření trojného integrálu pomocí pravoúhlých souřadnic

V pravoúhlých souřadnicích má trojný integrál následující tvar:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

kde je prvek objemu v pravoúhlých souřadnicích. $\dxdydz$

Vyjádření trojného integrálu pomocí cylindrických souřadnic

Podobně je v některých případech snazší vypočítat trojný integrál nikoli v pravoúhlých, ale ve válcových souřadnicích . Aplikujeme větu o změně proměnných. Transformace odpovídající přechodu má tvar:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

Modul jakobiánu zobrazení je . Tak to dostáváme $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

kde je objemový prvek ve válcových souřadnicích. $rdrd\varphi dh$

Vyjádření trojného integrálu pomocí sférických souřadnic

Kromě cylindrických souřadnic můžete také přepnout na sférické souřadnice . Aplikujeme větu o změně proměnných. Transformace odpovídající přechodu má tvar:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ zarovnat}\vpravo.

Modul jakobiánu zobrazení je . Tak to dostáváme $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

kde je objemový prvek ve sférických souřadnicích. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Aplikace trojných integrálů

Název hodnoty	Obecný výraz	Obdélníkové souřadnice	Válcové souřadnice	Sférické souřadnice
objem těla	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Moment setrvačnosti geometrie tělesa kolem osy $oz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Hmotnost fyzického těla s hustotou $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Souřadnice těžiště homogenní tělo	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ limity_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Viz také

Poznámky

↑ Zde a všude níže, pokud není uvedeno jinak, je měřitelnost množiny chápána v jordánském smyslu.
↑ V takovém zápisu je zcela typické použít pro prvek ( n - rozměrného) rozsahu integrace jiné písmeno než pro označení vektorového argumentu integrovatelné funkce, tzn. ne ale například nebo jednoduše nebo atd., protože v souřadnicovém zápisu je tento objemový prvek v nejjednodušších případech součinem souřadnicových diferenciálů a v obecnějším případě křivočarých souřadnic musí X obsahovat také determinant metriky : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Literatura

Vygodsky, M. Ya. Diferenciace a integrace funkcí několika argumentů // Příručka vyšší matematiky. - M. : Astrel, AST, 2005. - 991 s. — 10 000 výtisků. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitola 2. Dvojité a n-násobné integrály // Základy matematické analýzy. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 s. — (Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky). - 5000 výtisků. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudryavtsev, L. D. Kapitola 6. Integrální počet funkcí více proměnných // Kurz matematické analýzy. - M . : Vyšší škola, 1981. - T. 2. - 584 s.
Budak, B. M., Fomin S. V. Vícenásobné integrály a řady. — M .: Nauka , 1967. — 608 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů