Tonelliho-Fubiniho věta

Tonelliho - Fubiniho teorém v matematické analýze , teorii pravděpodobnosti a příbuzných disciplínách redukuje výpočet dvojného integrálu na opakované.

Formulace

Nechť jsou dány dva prostory s -konečnými mírami $\sigma$ . Označte jejich produktem . Nechť je funkce integrovatelná s ohledem na míru . Pak $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ $\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{ 1}\otimes \mu _{2}\right)$ $f\colon X_{1}\krát X_{2}\to \mathbb{R}$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$

funkce je definována -téměř všude a integrovatelná s ohledem na ; $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_ {2}\vpravo)$ $\mu_{1}$ $\mu_{1}$
funkce je definována -téměř všude a integrovatelná s ohledem na ; $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_ {1}\vpravo)$ $\mu_{2}$ $\mu_{2}$
jsou tam rovnoprávnosti

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left( dx_{1}\right)

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left( dx_{2}\vpravo).

Speciální případy

Teorie pravděpodobnosti

Dovolit být prostory pravděpodobnosti a být náhodná proměnná na . Pak $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb{R}$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$

{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{ {\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb { E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right ],

kde index označuje míru pravděpodobnosti , vzhledem ke které se bere matematické očekávání .

Matematická analýza

Nechť Riemannovu integrovatelnou funkci dvou proměnných na obdélníku , tj . Pak $f\dvojtečka D=[a,\;b]\krát [c,\;d]\to \mathbb{R}$ $[a,\;b]\krát [c,\;d]$ $f\in \mathbb{R} (D)$

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^ {d}f(x,\;y)\,dy\vpravo]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f( x,\;y)\,dx\vpravo]\,dy,

kde integrál na levé straně je dvourozměrný a zbytek je iterativní jednorozměrný. Předpokládá se, že existují iterační integrály.

Důkaz

Jakýkoli oddíl množiny je získán některými oddíly segmentu a segmentu a objem libovolného obdélníku je určen pomocí , kde jsou některé dílčí segmenty oddílů. Pak zvažte následující integrální odhady $\lambda$ $[a,\;b]\krát [c,\;d]$ $\lambda _{{x}}$ $X=[a,\;b]$ $\lambda _{{y}}$ $[CD]$ $X_{{i}}\krát Y_{{j}}$ $V\left(X_{{i}}\times Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ $X_{{i}},Y_{{j}}$

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

a dolní a horní integrální součty funkce a : Potom, s integrovatelností vzhledem k , tedy rovností z výše uvedených odhadů, integrál také existuje a má stejnou hodnotu jako ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\součet \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\vpravo)V\left(X_{i}\krát Y_{j}\vpravo)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\součet \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ vlevo|Y_{j}\vpravo|\vpravo)\vlevo|X_{i}\vpravo|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\ vpravo|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\součet \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\ ;y\v Y_{j}}f\left(x,\;y\vpravo)V\left(X_{i}\krát Y_{j}\vpravo)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\součet \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ vlevo|Y_{j}\vpravo|\vpravo)\vlevo|X_{i}\vpravo|$
$F$ $X\krát Y$ $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ $(*)$ $\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Viz také

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza . - M .: Nauka Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1984. - S. 131-138.