Vektor (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. dubna 2022; kontroly vyžadují 14 úprav .

Vektor (z lat. vector - „nosič“, „nosič“, „nosič“) – v nejjednodušším případě matematický objekt charakterizovaný velikostí a směrem. Například v geometrii a přírodních vědách je vektor směrovaný segment přímky v euklidovském prostoru (nebo v rovině) [1] .

Příklady: poloměr vektor , rychlost , moment síly . Pokud je souřadnicový systém zadán v prostoru , pak je vektor jednoznačně definován sadou jeho souřadnic. Proto se v matematice, informatice a dalších vědách uspořádaná množina čísel často také nazývá vektor. V obecnějším smyslu je vektor v matematice považován za prvek nějakého vektorového (lineárního) prostoru .

Je to jeden ze základních konceptů lineární algebry . Při použití nejobecnější definice jsou vektory téměř všechny objekty studované v lineární algebře, včetně matic , tenzorů , pokud jsou však tyto objekty přítomny v okolním kontextu, je vektor chápán jako řádkový vektor nebo sloupcový vektor, a tenzor první řady. Vlastnosti operací s vektory jsou studovány ve vektorovém počtu .

Notace

Vektor reprezentovaný množinou prvků (komponent) se značí následujícími způsoby: $n$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$

\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right) ,\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}

Chcete-li zdůraznit, že se jedná o vektor (a ne skalární), použijte přeškrtnuté písmo, šipku nad hlavou, tučné nebo gotické písmo:

{\bar a},\ {\vec a}, {\mathbf a}, {\mathfrak A},\ {\mathfrak a}.

Vektorové sčítání je téměř vždy označeno znaménkem plus:

{\vec {a}}+{\vec {b}}

Násobení číslem se jednoduše napíše vedle něj, bez zvláštního znaménka, například:

k{\vec {b}}

a číslo se obvykle píše vlevo.

Násobení vektoru maticí se také označuje zápisem vedle sebe, bez zvláštního znaménka, ale zde permutace faktorů obecně ovlivňuje výsledek. Působení lineárního operátoru na vektor je také indikováno psaním operátoru vlevo, bez zvláštního znaménka.

Stojí za to mít na paměti, že násobení vektoru maticí vyžaduje zápis složek prvního jako řádku, zatímco násobení matice vektorem vyžaduje zápis druhého jako sloupce. Aby se dále zdůraznilo, že se vektor účastní operace jako řetězec, transpoziční znak se zapíše : ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}^{T}$

Historie

Intuitivně je vektor chápán jako objekt mající velikost, směr a (volitelně) aplikační bod. Počátky vektorového počtu se objevily spolu s geometrickým modelem komplexních čísel ( Gauss , 1831). Pokročilé operace na vektorech publikoval Hamilton jako součást svého kvaternionového počtu (imaginární složky kvaternionu tvořily vektor). Hamilton navrhl samotný termín vektor ( lat. vektor , přenašeč ) a popsal některé operace vektorové analýzy . Tento formalismus použil Maxwell ve svých pracích na elektromagnetismu , čímž přitáhl pozornost vědců k novému počtu. Brzy vyšly Gibbsovy prvky vektorové analýzy (1880) a poté Heaviside (1903) dal vektorové analýze moderní vzhled [2] .

Neexistují obecně přijímaná označení vektorů, používá se tučné písmo, pomlčka nebo šipka nad písmenem, gotická abeceda atd. [2]

V geometrii

V geometrii jsou vektory chápány jako směrované segmenty. Tato interpretace se často používá v počítačové grafice budováním světelných map pomocí povrchových normál . Pomocí vektorů můžete také najít oblasti různých tvarů, například trojúhelníky a rovnoběžníky , stejně jako objemy těles: čtyřstěn a rovnoběžnostěn .
Někdy je směr označen vektorem.

Vektor v geometrii je přirozeně spojen s přenosem ( paralelní přenos ), což samozřejmě objasňuje původ jeho názvu ( lat. vector , carrier ). Jakýkoli směrovaný segment totiž jednoznačně definuje nějaký druh paralelního posunu roviny nebo prostoru a naopak, paralelní posun jednoznačně definuje jeden směrovaný segment (jednoznačně - pokud považujeme všechny směrované segmenty stejného směru a délky za stejné - to znamená, že je považujte za volné vektory ) .

Interpretace vektoru jako překladu nám umožňuje představit operaci sčítání vektoru přirozeným a intuitivně zřejmým způsobem - jako složení (postupné aplikace) dvou (nebo několika) překladů; totéž platí pro operaci násobení vektoru číslem.

V lineární algebře

V lineární algebře je vektor prvkem lineárního prostoru, což odpovídá obecné definici uvedené níže. Vektory mohou mít různou povahu: směrované segmenty, matice, čísla, funkce a další, ale všechny lineární prostory stejné dimenze jsou navzájem izomorfní .
Toto pojetí vektoru se nejčastěji používá při řešení soustav lineárních algebraických rovnic , stejně jako při práci s lineárními operátory (příkladem lineárního operátoru je rotační operátor ). Často je tato definice rozšířena o definování normy nebo skalárního součinu (možná obojího dohromady), načež operují s normovanými a euklidovskými prostory, pojem úhlu mezi vektory je spojen se skalárním součinem a pojem délky vektoru je spojena s normou. Mnoho matematických objektů (například matice , tenzory atd.), včetně těch, které mají obecnější strukturu než konečný (a někdy dokonce spočetný) uspořádaný seznam, splňuje axiomy vektorového prostoru , tedy z hlediska algebry. , jsou to vektory .

Ve funkční analýze

Ve funkcionální analýze jsou funkční prostory považovány za nekonečně rozměrné lineární prostory. Jejich prvky mohou být funkce. Na základě této reprezentace funkce je postavena teorie Fourierových řad . Podobně s lineární algebrou se často zavádí norma, vnitřní součin nebo metrika na prostoru funkcí. Některé metody pro řešení diferenciálních rovnic jsou založeny na konceptu funkce jako prvku Hilbertova prostoru , například metoda konečných prvků .

Obecná definice

Nejobecnější definice vektoru je dána pomocí obecné algebry :

Označte (gotické F) nějaké pole množinou prvků , aditivní operace , multiplikativní operace a odpovídající neutrální prvky : aditivní jednotka a multiplikativní jednotka . $\mathfrak F$ $F$ $+$ $*$ $0$ $jeden$
Označte (gotiku V) nějakou abelovskou skupinu se sadou prvků , aditivní operací a podle toho s aditivní identitou . ${\mathfrak V}$ $PROTI$ $+$ ${\mathbf 0}$

Jinými slovy, nechte a . ${\mathfrak F}=\langle F;+,*\rangle$ ${\mathfrak V}=\langle V;+\rangle$

Pokud existuje taková operace , že pro kteroukoli a pro kteroukoli platí následující vztahy: $F\krát V\to V$ $a,b\in F$ ${\mathbf x},{\mathbf y}\in V$

$(a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x}$ ,
$a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y}$ ,
$(a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )$ ,
$1\times \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ,

pak

${\mathfrak V}$ se nazývá vektorový prostor nad polem (nebo lineární prostor), $\mathfrak F$
prvky se nazývají vektory , $PROTI$
prvky jsou skaláry , $F$
indikovaná operace je násobení vektoru skalárem . $F\krát V\to V$

Mnoho výsledků v lineární algebře bylo zobecněno na nečleněné moduly přes non-komutativní šikmá pole a dokonce libovolné moduly přes prsteny ; tak, v nejobecnějším případě, v některých kontextech, jakýkoli prvek modulu nad prstencem může být nazýván vektorem.

Fyzická interpretace

Vektor jako struktura, která má jak velikost (modul), tak směr, je ve fyzice považován za matematický model rychlosti , síly a souvisejících veličin, kinematických nebo dynamických. Matematickým modelem mnoha fyzikálních polí (například elektromagnetického pole nebo pole rychlosti tekutiny) jsou vektorová pole .

Abstraktní vícerozměrné a nekonečněrozměrné (v duchu funkční analýzy ) vektorové prostory se používají v Lagrangeově a Hamiltonově formalismu, jak je aplikováno na mechanické a jiné dynamické systémy, a v kvantové mechanice (viz stavový vektor ).

Vektor jako sekvence

Vektor — ( sekvence , n-tice ) homogenní prvky. Toto je nejobecnější definice v tom smyslu, že nemusí existovat vůbec žádné konvenční vektorové operace, může jich být méně nebo nemusí splňovat obvyklé axiomy lineárního prostoru . Právě v této podobě je vektor chápán v programování , kde se zpravidla označuje názvem identifikátoru s hranatými závorkami (například objekt[] ). Seznam vlastností modeluje definici třídy a stavu objektu akceptovanou v teorii systémů . Typy prvků vektoru tedy určují třídu objektu a hodnoty prvků určují jeho stav. Toto použití termínu je však již pravděpodobně mimo rámec obvykle přijímaný v algebře a vlastně v matematice obecně.

Uspořádaná množina n čísel se nazývá aritmetický vektor. Čísla se označují jako složky aritmetického vektoru. Množina aritmetických vektorů, pro kterou jsou definovány operace sčítání a násobení číslem, se nazývá prostor aritmetických vektorů [3] . ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $R^{n}$

Viz také

Poznámky

↑ Vector // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmů, notace: Slovník-příručka . - 3. vyd. - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 22 -23. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Kapitola 2. Prostor aritmetických vektorů R n // Lineární algebra. IET MPEI Krátké poznámky k přednášce .

Literatura

Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
(anglicky) JV Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ISBN 0198523947
F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 Lire Archived 25. února 2021 na Wayback Machine
D. Lehmann et Rudolf Bkouche , Iniciace à la géométrie , PUF, 1988, ISBN 2130401600
Y. Sortais, La Géométrie du trojúhelník. Exercices resolus , Hermann, 1997, ISBN 270561429X
Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques , Elipsy Marketing, 2002 ISBN 2729811486
J. Perez, Mécanique physique , Masson, 2007 ISBN 2225553416
MB Karbo, Le graphisme et l'internet , Compétence micro, č. 26, 2002 ISBN 2912954959

Odkazy

(anglicky) Premières utilisations connues des termes mathématiques par J. Miller

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný