Riemannova funkce (RFDF)

Riemannova funkce je příkladem funkce reálné proměnné , která je spojitá na množině iracionálních čísel , ale nespojitá na množině racionálních čísel . Jako takový hraje důležitou roli v matematické analýze [1] . Jde o modifikaci Dirichletovy funkce . V ruských pramenech se jí obvykle říká „Riemannova funkce“ na počest Bernharda Riemanna , v anglické literatuře má tato funkce spoustu dalších názvů: Thomaeova funkce, funkce popcornu, funkce dešťové kapky, funkce počitatelného mraku, modifikovaný Dirichlet funkce, funkce pravítka [2] .

Definice

Riemannova funkce je definována pro reálný argument následovně. $R(x)$ $X$

Jestliže je iracionální číslo , pak se funkce rovná nule. Jestliže je racionální číslo reprezentováno jako neredukovatelný zlomek (kde ), pak je hodnota funkce rovna $X$
$X$ ${\frac {m}{n}}$ $n>0$ ${\frac {1}{n).$

Zejména . $R(0)=1$

Vlastnosti

Funkce je omezená - nabývá hodnot v intervalu Je periodická s periodou rovnou 1: $R(x)$ $[0,1].$ $f(x+1)=f(x).$

Funkce je spojitá všude na množině iracionálních čísel, protože limita funkce v každém takovém bodě je rovna nule, ale je nespojitá ve všech racionálních bodech. Navíc v každém racionálním bodě má funkce striktní lokální maximum [3] .

Riemannova funkce není nikde diferencovatelná , nicméně Riemannova funkce je integrovatelná na libovolném intervalu. V tomto případě je integrál všude nulový, protože funkce je téměř všude nulová . Všimněte si, že související Dirichletova funkce není Riemannově integrovatelná [4] .

Poznámky

↑ Shibinsky, 2007 , str. 24.
↑ William Dunham. Galerie Calculus . - Princeton University Press, 2005. - S. 149 . — ISBN 0-691-09565-5 .
↑ Shibinsky, 2007 , str. 62-63.
↑ Shibinsky, 2007 , str. 146-147.

Literatura

Shibinsky VM Příklady a protipříklady v průběhu matematické analýzy. Tutorial. - M . : Vyšší škola, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Odkazy

Modifikovaná Dirichletova funkce . Staženo: 2. května 2019.
Weisstein, Eric W. Dirichlet Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .