Téměř všude

Tvrzení , které závisí na bodu v prostoru s mírou , prý platí téměř všude , pokud množina bodů, pro které selže, má míru nulu [1] .

Často se používá zkratka, např . pro téměř všude . Například pro funkce a výraz $F$ $h$

f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{a.e.))}h

znamená, že rovnost

f(x)=h(x)

se provádí pro téměř všechny hodnoty proměnné . $X$

Definice

Nechť je prostor s mírou. Symbolem označte množinu bodů, pro které platí nějaké tvrzení . Tvrzení prý platí téměř všude (a.e.), pokud $(X,\mathcal{F},\mu)$ $T$ $X$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$

(X\setminus T) \podmnožina A , \mu(A) = 0

Poznámky

Množina, na které podmínka není splněna, není vždy měřitelná .
Pokud je prostor s mírou pravděpodobnostní prostor , pak místo slov „téměř všude“ používají „téměř jistě“ nebo „téměř jistě“ (viz článek „ téměř jistá událost “).

Příklady

Dirichletova funkce mizí téměř všude, protože , kde je Lebesgueova míra na . $m(\mathbb{Q}) = 0$ $m$ $\mathbb {R}$
Cantorův žebříček má derivaci, která je téměř všude nulová.

Viz také

Konvergence téměř všude

Poznámky

↑ TÉMĚŘ VŠUDE - Encyklopedie matematiky. — M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.