Konvergence téměř všude

Posloupnost funkcí konverguje téměř všude k limitní funkci, jestliže množina bodů, pro které není konvergence, má nulovou míru [1] .

Definice

Nechť je prostor s mírou a . Říkají, že se to sbíhá skoro všude, a píšou - a.e. pokud [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\to f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Pravděpodobnostní terminologie

Pokud existuje pravděpodobnostní prostor , a jsou náhodné proměnné takové, že $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ vpravo)=1

pak říkáme, že posloupnost konverguje téměř jistě k [2] . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Vlastnosti konvergence a.e.

Bodová konvergence zjevně znamená konvergenci téměř všude.
Nechte , kde , a konvergujte téměř všude k . Nechť také existuje funkce taková, že pro všechny a téměř všechny (summable majorant ) . Poté a v . Bez apriorního předpokladu o existenci integrovatelného majorantu konvergence téměř všude (a dokonce i všude) neznamená konvergenci v . Například posloupnost funkcí konverguje k 0 téměř všude na , ale nekonverguje na . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $F$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\in X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\to f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
Konvergence téměř všude implikuje konvergenci v míře , pokud je míra konečná. Pro prostory s nekonečnou mírou to neplatí [3] .

Viz také

Téměř všude

Poznámky

↑ 1 2 Djačenko, Uljanov, 1998 , str. 55 §13. konvergence téměř všude.
↑ Matematická encyklopedie, 1985 , str. 313 Konvergence je téměř jistá.
↑ Djačenko, Uljanov, 1998 , str. 57 Věta 13.2 (Rieszův příklad).

Literatura

Dyachenko M. I., Uljanov P. L. Míra a integrál . - M .: "Factorial", 1998.
Matematická encyklopedie / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Náhodná proměnná - Buňka).