Vícenásobný Riemannův integrál

Poznámka: Všude v tomto článku, kde je použito znaménko , je míněn (vícenásobný) Riemannův integrál , pokud není uvedeno jinak; všude v tomto článku, kde se říká, že množina je měřitelná, to znamená Jordan měřitelný , pokud není uvedeno jinak. $\int$ $\left(R\right)\int$

Definice

Nechť je měřitelný (podle Jordana) soubor. Oddíl množiny je jakákoli množina měřitelných množin, které se protínají pouze podél hranic a . Zvolme body - dostal - oddíl s vyznačenými body . $A$ $T$ $A$ $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m}$ $\bigcup _{1}^{m}A_{i}=A$ $\xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1} ^{m}$ ${\displaystyle (T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m))$

Nechť je funkce definována na , pak se nazývá integrální součet . $F$ $A$ ${\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k))$

Funkce je Riemann integrovatelná ve vícenásobném smyslu na a je jejím integrálem, jestliže : pro jakoukoli označenou přepážku s a průměr platí nerovnost . Integrál funkce na měřitelné množině se značí : . $F$ $A$ $já$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0$ $(T,\xi )$ $\xi _{i}\in {}A_{i}$ $dAi=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta$ $\left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon$ $F$ $A$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$

Některé vlastnosti násobného Riemannova integrálu

Jestliže je funkce Riemannově integrovatelná na měřitelné množině , pak je tato funkce omezena na množinu , kde je vnitřek . (Viz spojení mezi Riemannovou integrovatelností a omezeností ). $F$ $A$ $\exists \delta >0$ $F$ $A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}$ ${\mbox{int}}A$ $A$
Pokud je funkce Riemann integrovatelná na měřitelné množině , funkce je pro některé definována dál a dál , pak je Riemannova integrovatelná na a . $F$ $A$ $G$ $A$ $g(x)=f(x)$ ${\displaystyle A_{\delta ))$ $\delta>0$ $G$ $A$ $\int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Linearita. Jestliže ( je omezený a Riemann integrovatelný na ), pak funkce a . Pokud , pak a . Vyplývá to z vlastností integrálu jako limity nad bází . $f\in R(A)$ $A$ $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha {}f\in R(A)$ $\int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $f,g\in R(A)$ $f\pm g\in R(A)$ $\int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \ int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Aditivnost přes sady. Pokud a , pak a pokud , pak . První část vychází z Lebesgueova kritéria . $f\in R(A)$ $f\in R(B)$ $f\in R(A\cup B)$ $\mu (A\cap B)=0$ $\int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}$
Integrovatelnost podmnožiny. Jestliže , je Jordanově měřitelná podmnožina , pak . Vyplývá z Lebesgueova kritéria . $f\in R(A)$ $B$ $A$ $f\in R(B)$
Pokud , tak . Vyplývá z Lebesgueova kritéria . $f,g\in R(A)$ $f*g\in R(A)$
Pokud je funkce na segmentu spojitá . Vyplývá z Lebesgueova kritéria . $f\in R(A)$ $\varphi$ $[\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)$
Jestliže , a změna na množině , pak modifikovaná funkce , za předpokladu , že je omezena na , je také Riemannově integrovatelná na a . $f\in R(A)$ $F$ $B\subset A,\ \mu B=0$ $\tilde f$ $A$ $A$ $\int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Pokud a dále , pak . Vyplývá to z vlastností integrálu jako limity nad bází . $f,g\in R(A)$ $f(x)\leqslant g(x)$ $A$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Pokud , pak a . $f\in R(A)$ $\left|f\right|\in R(A)$ $\left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\ vec{x}}$
Jestliže , on a jsou vnitřním bodem a bodem spojitosti , pak . $f\in R(A)$ $f(x)\geqslant 0$ $A$ $f(x_{0})>0,\ x_{0}$ $A$ $F$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0$

Věty

Darbouxovo integrační kritérium .

Omezená funkce na měřitelné množině je Riemann integrovatelná , a v případě rovnosti: , kde a jsou nižší a horní Darbouxovy integrály, resp . $F$ $A$ $\Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)$ $I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $já_*$ $já^*$

Lebesgueovo kritérium integrovatelnosti .

Vázaný na měřitelnou množinu , Riemann integrovatelný, kontinuální téměř všude na . $F$ $A$ $\Leftrightarrow \f$ $A$

Věty o souvislosti mezi Riemannovým integrálem a Jordanovou mírou .
- Věta 1. Nechť je měřitelná množina v . Pak Jordanova měřitelnost množinové charakteristické funkce je Riemannově integrovatelná na a v případě měřitelnosti platí rovnost: . $A$ $\mathbb {R} ^{n},\ E\subset A$ $E\ \Leftrightarrow$ $\chi _{E}$ $A$ $E$ $\mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}$
- Věta 2. Dovolit být měřitelná množina v , Funkce na . Nechat nastavit . Pak Riemannova integrovatelnost omezené funkce na množině je Jordan měřitelná v . V tomto případě v případě měřitelnosti platí tato rovnost: . $A$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f({\vec {x)))\geqslant 0$ $A$ $A_{f}=\left\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x))\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $F$ $A\ \Leftrightarrow$ ${\displaystyle A_{f))$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\displaystyle A_{f))$ $\mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}$
- Následek. Funkce ohraničená na měřitelnou množinu je Riemann integrovatelná na množinách a Jordan měřitelná v . A v případě jejich měřitelnosti je splněna rovnost: . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $F$ $A\ \Leftrightarrow$ $A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ v A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ v A,\ f({\vec {x)))\leqslant y\leqslant 0\right\}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1) )}A_{f}^{-}$
Věty o redukci více Riemannových integrálů v opakovaných .
- Teorém. Nechť funkci je , kde je paprsek , který je součinem intervalů : . Nechť pro každý označme a dolní a horní Darbouxovy integrály přes to . Pak a jsou Riemann integrovatelné na a . $f\in R(\Pi )$ $\Pí$ ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n))$ $1\leqslant m<n$ ${\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{nm}$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $f({\vec {x))\,',{\vec {\xi )))$ ${\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\ Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x )))\,d{\vec {x}}$
- Důsledek 1. Nechť , kde - bar , což je součin intervalů : . Dovolit , být funkce na , Tak, že , Kde a jsou, v tomto pořadí, dolní a horní Darboux integrál pro pro pevné na . Pak je funkce Riemann integrovatelná na a . $f\in R(\Pi )$ $\Pí$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}$ $\Pi ^{''}$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x} }\,'')\leqslant$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')$ $I^{*}({\vec {x}}\,'')$ $f({\vec {x}}\,', {\vec {x}}\,'')$ ${\vec {x}}\,''$ ${\vec {x}}\,'$ $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,'')$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _ {\Pi }f({\vec {x)))\,d{\vec {x}}$
- Důsledek 2. Nechť , kde - bar , což je součin intervalů : . Jestliže , je funkce Riemann integrovatelná na , pak její integrál je Riemann integrovatelný na a $f\in R(\Pi )$ $\Pí$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n$ $\forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k} ]\subset \mathbb {R} ^{nm}$ $f({\vec {x}}\,', {\vec {x}}\,'')$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x} }\,'$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x} }\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec { x)))\,d{\vec {x}}$
- Důsledek 3 . Nechte _ Označte - projekci množiny na co . Pro označení po částech sady . Předpokládejme, že a všechny jsou Jordan měřitelné soubory v a , respektive, a pro každou funkci . Poté integrujeme na a . $f\in R(A)$ $A^{''}$ $A$ $\mathbb {R} ^{nm},\ A^{''}=\left\({\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{nm}:\ \ existuje {\vec {x}}\,'\v \mathbb {R} ^{m},\right.$ $\left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n$ ${\vec {x}}\,''\in A$ $A^{'}$ $A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\({\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}: \ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\v A\vpravo\}$ $A^{''}$ $A^{'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nm))$ $\mathbb {R} ^{m}$ ${\vec {x}}\,''\in A^{''}$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,'') )$ $\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\, '')\,d{\vec {x}}\,'$ $A^{''}$ $\int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x} }\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$

Vícenásobný Riemannův integrál

Definice

Některé vlastnosti násobného Riemannova integrálu

Věty

Viz také