Diskrétní skupina

Topologická grupa G se nazývá diskrétní grupa , pokud nemá limitní bod (tj. pro jakýkoli prvek G existuje okolí, které obsahuje pouze tento prvek). Ekvivalentně je grupa G diskrétní právě tehdy, když je jejím neutrálním prvkem izolovaný bod [1] . Jinými slovy, indukovaná topologie v G je diskrétní prostor . Například celá čísla tvoří diskrétní podskupinu reálných čísel (se standardní metrickou topologií ), ale racionální čísla se netvoří. Diskrétní skupina je topologická skupina G vybavená diskrétní topologií .

Každá skupina může být vybavena diskrétní topologií. Protože nějaké mapování od jednotlivého prostoru je spojité , topologické homomorfismy mezi jednotlivými skupinami jsou přesně homomorfismy mezi základními skupinami. Proto existuje isomorfismus mezi kategorií grup a kategorií diskrétních grup. Proto lze diskrétní skupiny identifikovat se základními (netopologickými) skupinami.

Existuje několik případů, kdy je topologická nebo Lieova skupina úspěšně opatřena „nepřirozenou“ diskrétní topologií. To se děje například v teorii Bohrovy kompaktifikace a v teorii grupové cohomologie Lieových grup.

Skupina diskrétní izometrie je skupina izometrií, takže pro jakýkoli bod v metrickém prostoru je soubor obrazů proudů pod izometriemi diskrétní sada . Diskrétní skupina symetrie je skupina symetrie, která je diskrétní izometrickou skupinou.

Vlastnosti

Vzhledem k tomu, že topologické skupiny jsou homogenní , je třeba zvážit pouze jeden bod, aby bylo možné určit, zda je topologická skupina diskrétní. Konkrétně je topologická skupina diskrétní tehdy a pouze tehdy, když singleton obsahující prvek identity je otevřená množina .

Diskrétní grupa je to samé jako nularozměrná Lieova grupa (v nesčetných diskrétních grupách druhý axiom spočetnosti neplatí , takže autoři, kteří požadují Lieovy grupy, aby splnily tyto požadavky, je nepovažují za Lieovy grupy). Identitní složka diskrétní grupy je pouze triviální podgrupou , zatímco skupina komponent je izomorfní ke skupině samotné.

Protože pouze Hausdorffova topologie je diskrétní na konečné množině, musí být konečná Hausdorffova topologická grupa diskrétní. To znamená, že jakákoli konečná podgrupa Hausdorffovy grupy je diskrétní.

Diskrétní podskupina H skupiny G je kokompaktní , pokud existuje kompaktní podmnožina K skupiny G tak, že HK = G.

Diskrétní normální podgrupy hrají důležitou roli v teorii krycích grup a lokálně izomorfních grup. Samostatná normální podgrupa spojené grupy G nutně leží ve středu grupy G a je proto abelovská .

Další vlastnosti :

• další diskrétní skupina je zcela odpojená skupina
• jakákoli podskupina diskrétní skupiny je diskrétní.
• jakákoli skupina faktorů diskrétní skupiny je diskrétní.
• součin konečného počtu diskrétních grup je diskrétní grupa.
• diskrétní grupa je kompaktní právě tehdy, když je konečná.
• jakákoliv diskrétní skupina je lokálně kompaktní .
• jakákoliv diskrétní podgrupa Hausdorffovy grupy je uzavřena.
• jakákoliv diskrétní podgrupa kompaktní Hausdorffovy grupy je konečná.

Příklady

• Hraniční skupiny a ozdobné skupiny jsou diskrétními podskupinami izometrické skupiny euklidovské roviny. Skupiny ornamentů jsou kompaktní, ale skupiny okrajů nikoli.
• Krystalografická grupa obvykle znamená kokompaktní diskrétní podskupinu izometrií nějakého euklidovského prostoru. Někdy však může být krystalografická skupina kokompaktní diskrétní podskupinou nilpotentní nebo řešitelné Lieovy skupiny .
• Nějaká trojúhelníková skupina T je jednotlivá podgrupa izometrické skupiny koule (jestliže T je konečná), euklidovské roviny (pokud T má podskupinu konečného indexu ), nebo hyperbolické roviny .
• Fuchsovy grupy jsou podle definice diskrétními podgrupami izometrické grupy hyperbolické roviny.
  • Orientaci zachovávající fuchsovská grupa působící na model horní poloroviny hyperbolické roviny je diskrétní podgrupou Lieovy grupy, grupou orientaci zachovávajících izometrií modelu horní poloroviny hyperbolické roviny.
  • Fuchsova grupa je někdy považována za zvláštní případ kleinovské grupy , kdy je hyperbolická rovina izometricky zasazena do trojrozměrného hyperbolického prostoru a působení grupy je rozšířeno z roviny do celého prostoru.
  • Modulární skupina je považována za diskrétní podskupinu skupiny . Modulární skupina je mřížka, ale není kokompaktní.
• Kleinovské grupy jsou podle definice samostatné podgrupy izometrické skupiny trojrozměrného hyperbolického prostoru . Zahrnují kvazi-fuchsovské grupy .
  • Kleinova skupina zachovávající orientaci, která působí v horní polovině 3-rozměrného modelu hyperoblického prostoru, je diskrétní podskupinou Lieovy grupy, skupiny izometrií zachovávajících orientaci trojrozměrného horního polorovinného modelu hyperoblického prostoru. .
• Mříž v Lieově grupě je diskrétní podgrupa taková, že Haarova míra podílového prostoru je konečná.

Viz také

• Krystalografická skupina bodové symetrie
• Kongruentní podskupina
• Aritmetická skupina
• Geometrická teorie grup
• Výpočetní teorie grup

Poznámky

1. ↑ Pontrjagin, 1946 , s. 54.

Literatura

• Leon Pontrjagin. Topologické skupiny . — Princeton University Press , 1946.
• Diskrétní skupina transformací //Encyklopedie matematiky . — EMS Press , 2001.
• Diskrétní podskupina //Encyklopedie matematiky . — EMS Press , 2001.