Izomorfismus kategorie

Izomorfismus kategorie je vztah jedna ku jedné mezi kategoriemi, který zachovává strukturu objektů a morfismů: kategorie a jsou izomorfní, pokud existují funktory a které jsou vzájemně inverzní, tj. (funkktor identity na ) a [1] . Dvě izomorfní kategorie sdílejí všechny vlastnosti, které jsou definovány pouze z hlediska teorie kategorií; pro všechny praktické účely jsou totožné, liší se pouze v označení předmětu a morfismu. $C$ $D$ $F\colon C\to D$ $G\colon D\to C$ $FG=1_{D}$ $D$ $GF=1_{C}$

Izomorfismus kategorie je velmi silná podmínka, která je zřídka splněna; v tomto ohledu se častěji používá pojem ekvivalence kategorie , u kterého se nevyžaduje, aby byla rovna , ale pouze přirozeně isomorfní a podobně byla přirozeně isomorfní . $FG$ $1_{D}$ $1_{D}$ $GF$ $1_{C}$

Funktor vytváří izomorfismus kategorií právě tehdy, je-li bijektivní na objektech a na množině morfismů [1] ; díky tomuto kritériu je možné dokázat izomorfismus kategorií bez konstruování inverzního funktoru . $F\colon C\to D$ $G$

Příklady

Pro algebru konečných grup , pole a grup je kategorie -lineárních reprezentací grupy isomorfní ke kategorii levých modulů přes . Izomorfismus lze popsat následovně: je-li dáno znázornění skupiny , kde je vektorový prostor nad , je skupina jeho -lineárních automorfismů a je homomorfismus skupin , překládá se do levého modulu následovně: $G$ $k$ $kg$ $k$ $G$ $kg$ $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ $PROTI$ $k$ $\mathbf {GL} (V)$ $k$ $\rho$ $PROTI$ $kg$

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

pro kterýkoli z prvků . Naopak, pokud je dán levý modul , pak je -vektorový prostor a násobení prvkem grupy vede k -lineárnímu automorfismu modulu (protože jsme invertibilní k ), který popisuje grupový homomorfismus . $proti$ $PROTI$ $\sum a_{g},g\in kG$ $kg$ $M$ $M$ $k$ $G$ $G$ $k$ $M$ $G$ $kg$ $G\to \mathbf {GL} (M)$

Jakýkoli prsten lze považovat za předaditivní kategorii s jediným předmětem. Kategorie funktorů všech aditivních funktorů z této kategorie do kategorie abelovských grup je izomorfní s kategorií levých modulů nad kruhem.

Automorfismus kategorie vyvstává v teorii Boolean algeber : kategorie Boolean algeber je izomorfní ke kategorii Boolean prstenů . Daná booleovská algebra je přeložena do booleovského kruhu pomocí symetrického rozdílu jako sčítání a operace logického násobení jako násobení. Naopak, pokud je zadán booleovský kruh , pak můžeme operaci sjednocení definovat jako a operaci průniku jako násobení. Obě tyto definice lze rozšířit na morfismy a získat funktory, přičemž tyto funktory jsou vzájemně inverzní. $B$ $\přistát$ $R$ $a\lor b=a+b+ab$

Jestliže je kategorie s počátečním objektem , pak kategorie objektů „nad“ ( ) je izomorfní k . Duálně , jestliže je koncový objekt v , je funktorová kategorie ( ) izomorfní . $C$ $s$ $s{\downarrow }C$ $C$ $t$ $C$ $C{\downarrow }t$ $C$

Poznámky

↑ 1 2 McLane, 2004 , str. 25.

Literatura

McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .