Bohrova kompaktifikace

Bohrova kompaktifikace topologické grupy G je bikompaktní topologická grupa H , která může být kanonicky spojena se grupou G . Její význam spočívá v redukci teorie stejnoměrně téměř periodických funkcí na G na teorii spojitých zobrazení na H . Koncept je pojmenován po dánském matematikovi Haraldu Bohrovi , který byl průkopníkem studia téměř periodických funkcí na reálné lince .

Definice a základní vlastnosti

Vzhledem k topologické grupě G je Bohrova kompaktifikace G bikompaktní topologická grupa a spojitý homomorfismus [1]

který je univerzální s ohledem na homomorfismy ke kompaktním grupám. To znamená, že pokud K je další kompaktní topologická skupina a

je spojitý homomorfismus, pak existuje jedinečný spojitý homomorfismus

taková, že f = Bohr ( f ) ∘ b .

Věta . Bohrova kompaktifikace existuje [2] [3] a je jedinečná až do izomorfismu.

Označte Bohrovu kompaktifikaci grupy G by a kanonické zobrazení by

Korespondence definuje kovariantní funktor na kategoriích topologických grup a spojitých homomorfismů.

Bohrova kompaktifikace úzce souvisí s teorií konečně-dimenzionálních unitárních reprezentací grup. Jádro skupiny b se skládá přesně z těch prvků skupiny G , které nelze oddělit od identického prvku skupiny G konečnorozměrnou unitární reprezentací.

Bohrova kompaktifikace také redukuje mnoho problémů v teorii téměř periodických funkcí na topologických grupách na problémy funkcí na kompaktních grupách.

Omezená spojitá komplexně hodnotná funkce f na topologické grupě G je rovnoměrně téměř periodická právě tehdy, když je množina správných překladů , kde

relativně kompaktní v jednotné topologii, protože g se mění v G.

Věta . Omezená spojitá komplexní funkce f na G je rovnoměrně téměř periodická, pokud existuje spojitá funkce na (jedinečně definovaná) taková, že

[čtyři]

Maximálně téměř periodické skupiny

Topologické skupiny, pro které je Bohrova kompaktifikační mapa injektivní, se nazývají maximálně téměř periodické (skupiny MLP). V případě, že G je lokálně kompaktní souvislá grupa, LMP grupy je zcela definován — je přesně součinem kompaktních grup vektorovými grupami konečné dimenze.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Zhu, 2019 , str. 37 Definice 3.1.2.
  2. ↑ GISMATULLIN, JAGIELLA, KRUPINSKI, 2020 , str. 3.
  3. ↑ Zhu, 2019 , str. 34 Věta 3.1.1.
  4. ↑ Zhu, 2019 , str. 39 Věta 3.1.4.

Literatura