Teorie geometrických grup je odvětví matematiky , které studuje konečně generované grupy pomocí vztahů mezi jejich algebraickými vlastnostmi a topologickými a geometrickými vlastnostmi prostorů, na kterých takové grupy působí, nebo grup samotných, považovaných za geometrické objekty (což se obvykle provádí pomocí s ohledem na Cayleyho graf a odpovídající metriky slovní zásoby ).
Geometrická teorie grup, jako samostatné odvětví matematiky, se objevila relativně nedávno a začala jasně vystupovat koncem 80. a začátkem 90. let. Geometrická teorie grup interaguje s nízkorozměrnou topologií , hyperbolickou geometrií , algebraickou topologií , výpočetní teorií grup . Je také spojována s teorií složitosti , matematickou logikou , studiem Lieových grup a jejich diskrétních podgrup , dynamickými systémy , teorií pravděpodobnosti , K-teorií a dalšími oblastmi matematiky.
Gromovův teorém o skupinách polynomiálního růstu by měl být považován za první výsledek v teorii geometrických grup . Důkaz poprvé využívá tzv. Gromov-Hausdorffovu konvergenci .
Nicméně hlavní krok ve formování geometrické teorie grup byl učiněn v Gromovově článku o hyperbolických grupách. [1] Definice hyperbolické grupy uvedená v tomto článku poskytla jasnou geometrickou interpretaci teorie grup s malými anulacemi .