Gromov-Hausdorffova metrika
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 9. října 2022; ověření vyžaduje
1 úpravu .
Gromov-Hausdorffova metrika je způsob, jak určit vzdálenost mezi dvěma kompaktními metrickými prostory . Přesněji, je to metrika na množině izometrických tříd kompaktních metrických prostorů.
Tuto metriku zavedl Edwards v roce 1975 [1] [2] a poté ji znovu objevil a zobecnil M. L. Gromov v roce 1981 [3] . Gromov použil tuto metriku ve svém důkazu věty o grupách polynomiálního růstu .
Definice
Gromov-Hausdorffova vzdálenost mezi izometrickými třídami kompaktních metrických prostorů a je definována jako nejmenší infimum Hausdorffových vzdáleností mezi jejich obrazy pod globálně izometrickými vloženími
a
ve společném metrickém prostoru . V tomto případě se infimum bere jak přes všechna globálně izometrická vložení, tak přes všechny prostory .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle X\hookrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79359612060a1a9cf9202b7adc2199301e070d29)
![{\displaystyle Y\hookrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33899b9411acc3d4360371b51d4e0576f07e5924)
![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
Ekvivalentně lze definovat Gromov-Hausdorffovu vzdálenost jako nejmenší infimum Hausdorffových vzdáleností mezi a v disjunktním spojení vybaveném metrikou tak, že omezení na se shoduje s metrikou na a omezení na se shoduje s metrikou na . V tomto případě je přesná spodní hranice převzata ze všech těchto metrik .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle X\sqcup Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d78e43bf94f694b737f24633f89e4e185a4a893)
![\rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
![\rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![\rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
Komentáře
- Často se vynechávají slova "izometrická třída", to znamená, že místo "vzdálenost Gromov-Hausdorff mezi izometrickými třídami a " říkají "vzdálenost Gromov-Hausdorff mezi a ".
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
- Vzdálenost mezi izometrickými třídami a je obvykle označena nebo .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![{\displaystyle d_{GH}(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45615c5fab3dd59719ba49381315fcf7797df434)
![{\displaystyle |X,Y|_{GH}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedd96705dba58f187ed31eab0fe0942bef7c141)
- Množina izometrických tříd kompaktních metrických prostorů vybavených Gromov-Hausdorffovou metrikou se obvykle označuje , nebo .
![GH](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1159f853aea0eb3670c41bb2c5562d7dde9506)
![{\mathcal {M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd)
![\mathfrak{M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f96ea04db56741bbd5dc610098968f3a7a9c00)
- Správná třída metrických prostorů až do izometrií je označena .
![{\displaystyle {\mathcal {GH))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86b86077b4cd67eefa1f0bf30ce1d2983a87e8d)
Související definice
- Posloupnost izometrických tříd kompaktních metrických prostorů konverguje k izometrické třídě kompaktního metrického prostoru , pokud
![X_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285)
![{\displaystyle X_{\infty ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88059d1dcddf8817d806391055c9c399f7c22170)
![{\displaystyle d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ed8adcd902e81049206ed0e8e22cc041ef433d)
![n\to\infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d55d9b32f6fa8fab6a84ea444a6b5a24bb45e1)
Vlastnosti
- Metrický prostor je spojen s cestou , je úplný , oddělitelný .
geodetický [4] ; to znamená, že jakékoli dva jeho body jsou spojeny nejkratší křivkou, jejíž délka je rovna vzdálenosti mezi těmito body.![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Gromov-Hausdorffův prostor je globálně nehomogenní; to znamená, že jeho skupina izometrií je triviální [5] , ale lokálně existuje mnoho netriviálních izometrií [6] .
Prostor je izometrický k prostoru tříd kongruence kompaktních podmnožin Urysohnova prostoru s Hausdorffovou metrikou až do pohybu . [7]
![{\mathcal {U}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e63ea009de5efbca2fc285b8550daaed577c6b8)
Jakákoli zcela jednotně ohraničená rodina metrických prostorů je v Gromovově-Hausdorffově metrice relativně kompaktní.
- O rodině metrických prostorů se říká , že je zcela rovnoměrně ohraničená , pokud jsou průměry všech prostorů v této rodině ohraničeny stejnou konstantou a pro všechny existuje kladné celé číslo , takže jakýkoli prostor z připouští -síť nanejvýš bodů.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\varepsilon >0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![N(\varepsilon)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ece08176c0cb5df492282936cdc5185331b75)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![N(\varepsilon)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ece08176c0cb5df492282936cdc5185331b75)
- Tato vlastnost zejména implikuje Gromovův teorém kompaktnosti , který je analogický s Blaschkeho teorémem o výběru pro Hausdorffovu metriku.
Variace a zobecnění
- V definici je možné nahradit kompaktnost konečností průměru, ale v tomto případě budeme definovat metriku na třídě objektů (a ne na množině). To znamená, že formálně řečeno, třída všech izometrických tříd metrických prostorů s konečným průměrem , vybavená Gromov-Hausdorffovou metrikou, není metrickým prostorem.
- Pokud dovolíme, aby metrika nabyla hodnoty , pak můžeme také odmítnout konečnost průměru.
![\infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21)
Poznámky
- ↑ D. Edwards, „ The Structure of Superspace Archived 4. March 2016 at the Wayback Machine “, v „Studies in Topology“, Academic Press, 1975
- ↑ A. Tuzhilin, " Kdo vynalezl vzdálenost Gromov-Hausdorff?" Archivováno 20. prosince 2016 na Wayback Machine (2016)", arXiv: 1612.00728
- ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematics IHÉ.S. , 53, 1981 Archivováno 29. listopadu 2016.
- ↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf >
- ↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Archivováno 13. června 2018 na Wayback Machine
- ↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Archivováno 13. června 2018 na Wayback Machine
- ↑ A. Petrunin. Čistá metrická geometrie : úvodní přednášky . — 2020. arXiv : 2007.09846
Literatura
- M. Gromov . Structures metriques pour les variétés riemanniennes, editovali Lafontaine a Pierre Pansu, 1981.
- M. Gromov. Metrické struktury pro riemannovské a neriemannovské prostory , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (překlad s dalším obsahem).
- Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Kurz metrické geometrie. - M., Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .