Hausdorffova metrika

Hausdorffova metrika je přirozená metrika definovaná na množině všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru . Hausdorffova metrika tedy změní množinu všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru na metrický prostor.

Zdá se, že první zmínka o této metrice je obsažena v Hausdorffově knize „The Theory of Sets“, prvním vydání z roku 1914. O dva roky později je stejná metrika popsána v Blaschke 's Circle and Ball, možná nezávisle, protože neobsahuje odkaz na Hausdorffovu knihu.

Definice

Dovolit a být dvě neprázdné kompaktní podmnožiny metrického prostoru . Potom Hausdorffova vzdálenost, , mezi a je minimální číslo takové, že uzavřené -neighborhood obsahuje a také uzavřené -neighborhood obsahuje . $X$ $Y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $r$ $r$ $X$ $Y$ $r$ $Y$ $X$

Poznámky

Jinými slovy, if označuje vzdálenost mezi body a potom $|xy|$ $X$ $y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{ {y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$

Ekvivalentní definice: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _ {Y}(m)|\,\right\},$

kde označuje funkci vzdálenosti k množině .

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

X

Vlastnosti

Označme množinu všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru Hausdorffovou metrikou: $F(M)$ $M$

Topologie prostoru je kompletně definována topologií . $F(M)$ $M$
(Blashkeův teorém o výběru) je kompaktní právě tehdy, když . $F(M)$ $M$
$F(M)$ kompletní tehdy a jen tehdy, když je kompletní. $M$

Variace a zobecnění

Někdy je Hausdorffova metrika uvažována na množině všech uzavřených podmnožin metrického prostoru, v takovém případě může být vzdálenost mezi některými podmnožinami nekonečná.
Někdy je Hausdorffova metrika uvažována na množině všech podmnožin metrického prostoru. V tomto případě se jedná pouze o pseudo -metriku a není to metrika, protože "vzdálenost" mezi různými podmnožinami může být nulová.
V euklidovské geometrii je Hausdorffova metrika často aplikována až do shody . Dovolit a být dvě kompaktní podmnožiny euklidovského prostoru, pak je určen alespoň všemi pohyby euklidovského prostoru . Přísně vzato, tato metrika je v prostoru tříd kongruence kompaktních podmnožin euklidovského prostoru. $X$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )))$ $já$
Gromov-Hausdorffova metrika je podobná Hausdorffově metrice až do kongruence . Promění množinu (izometrických tříd) kompaktních metrických prostorů na metrický prostor.

Poznámky

Literatura

Blaschke . Kruh a míč . - M .: Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Příklady metrických prostorů // Mathematical Education Library Archived 12. January 2014 at the Wayback Machine . - 2001. - Vydání 9.
Hausdorff "Teorie množin"