Metrický prostor

Metrický prostor je množina, ve které je definována vzdálenost mezi libovolným párem prvků .

Definice

Metrický prostor je pár , kde je množina a je to číselná funkce, která je definována na kartézském součinu , nabývá hodnot v množině nezáporných reálných čísel a je taková, že $(X,\;d)$ $X$ $d$ $X\times X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( axiom identity ).
$d(x,y)=d(y,x)$ ( axiom symetrie ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trojúhelníkový axiom nebo trojúhelníková nerovnost ).

V čem

množina se nazývá základní množina metrického prostoru. $X$
prvky množiny se nazývají body metrického prostoru. $X$
funkce se nazývá metrika . $d$

Poznámky

Z axiomů vyplývá, že funkce vzdálenosti je nezáporná, od $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Pokud trojúhelníkovou nerovnost znázorníme jako $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ pro všechny a , $x$ $y$ $z$

pak axiom symetrie vyplývá z axiomu identity a trojúhelníkové nerovnosti.

Tyto podmínky vyjadřují intuitivní představy o pojetí vzdálenosti a jsou proto nazývány axiomy vzdálenosti . [1] Například, že vzdálenost mezi různými body je kladná a vzdálenost od do je stejná jako vzdálenost od do . Trojúhelníková nerovnost znamená, že vzdálenost od do není menší než přímka od do . $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $z$ $y$ $x$ $z$

Notace

Vzdálenost mezi body a v metrickém prostoru je obvykle označena nebo . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$ $\rho (x,y)$

V metrické geometrii se akceptuje označení nebo , pokud je potřeba zdůraznit, že mluvíme o . Používají se i symboly a (nehledě na to, že výraz pro body a nedává smysl). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|x-y|$ $|x-y|_{M}$ $x-y$ $x$ $y$
V klasické geometrii jsou akceptována označení nebo (body se obvykle označují velkými latinskými písmeny). $XY$ $|XY|$

Související definice

Bijekce mezi různými metrickými prostory , která zachovává vzdálenosti, se nazývá izometrie ; $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$
- V tomto případě se prostory a nazývají
izometrické . $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$

Jestliže , a pro , pak říkáme, že konverguje k : [2] .

x_{n}\in X

x\in X

d(x_{n},x)\to 0

n\to \infty

x_{n}

x

x_{n}\to x

Je-li podmnožina množiny , pak s ohledem na omezení metriky na množinu , můžeme získat metrický prostor , který se nazývá podprostor prostoru .

M

X

d_{M}=d_{X}|_{M}

d_{X}

M

(M,d_{M})

(X,d)

Metrický prostor se nazývá úplný , pokud nějaká základní posloupnost v něm konverguje k některému prvku tohoto prostoru.

Metrika na se nazývá vnitřní , jestliže jakékoli dva body a v mohou být spojeny křivkou s délkou libovolně blízkou . $d$ $M$ $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
- Prostor se nazývá geodetický , pokud mohou být libovolné dva body spojeny křivkou s délkou rovnou . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
Každý metrický prostor má přirozenou topologii , která je založena na množině otevřených kuliček , tedy množinách následujícího typu:

B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},

kde je bod a je kladné reálné číslo nazývané poloměr koule. Jinými slovy, množina je otevřená, pokud spolu s některým ze svých bodů obsahuje otevřenou kouli se středem v tomto bodě.

x

M

r

O

Dvě metriky, které definují stejnou topologii, jsou považovány za ekvivalentní .
O topologickém prostoru, který lze získat tímto způsobem, se říká, že je metrizovatelný .
Vzdálenost od bodu k podmnožině je určena vzorcem: $d(x,S)$ $x$ $S$ $M$

d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}

. Pak , pouze pokud patří do uzávěrky .

d(x,S)=0

x

S

Příklady

Diskrétní metrika :, ifave všech ostatních případech. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
Reálná čísla s funkcí vzdálenosti a euklidovský prostor jsou úplné metrické prostory. $d(x,\;y)=|y-x|$
Vzdálenost městských bloků : , kde , jsou vektory. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$
Dovolit je prostor spojitých a ohraničených zobrazení z topologického prostoru do metrického prostoru . Vzdálenost mezi dvěma zobrazeními a od tohoto prostoru je definována jako $F(X,Y)$ $X$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X\}$ .

Konvergence zobrazení s ohledem na tuto metriku je ekvivalentní jejich jednotné konvergenci na celém prostoru .

X

V konkrétním případě, kdy se jedná o kompaktní prostor a je to reálná čára, získáme prostor všech spojitých funkcí na prostoru s metrikou rovnoměrné konvergence.

X

Y

C(X)

X

Nechť , , jsou prostory funkcí na intervalu , respektive Lebesgueově integrovatelné, Riemannově integrovatelné a spojité. V nich lze vzdálenost určit podle vzorce: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

Aby se tato funkce stala metrikou, je nutné v prvních dvou prostorech identifikovat funkce, které se liší na množině míry 0 . V opačném případě bude tato funkce pouze semimetrická. (V prostoru funkcí, které jsou spojité na intervalu, se funkce, které se liší na množině míry 0, stejně shodují.)

V prostoru časově spojitě diferencovatelných funkcí je metrika zavedena vzorcem: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

kde je metrika jednotné konvergence na (viz výše).

d_{0}

C([a,b])

Jakýkoli normovaný prostor lze změnit na metrický, a to definováním funkce vzdálenosti $d(x,y)=\|y-x\|$ .
- Konečněrozměrné prostory tohoto typu se nazývají Minkowského prostory ;
- V případě rozměru rovného dvěma - Minkowského rovina .

Jestliže je posloupnost seminorem definující ( místně konvexní ) topologický vektorový prostor , pak $(p_{n})_{n\in N}$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}

je metrika definující stejnou topologii . (Lze nahradit libovolnou sčítací sekvencí striktně kladných čísel .)

{\frac {1}{2^{n}}}

(a_{n})

Libovolnou připojenou Riemannovu varietu lze proměnit v metrický prostor definováním vzdálenosti jako nejmenšího z délek cest spojujících pár bodů. $M$

Množinu vrcholů libovolného spojeného grafu lze změnit na metrický prostor definováním vzdálenosti jako minimálního počtu hran na cestě spojující vrcholy. Obecněji, pokud je každé hraně grafu přiřazeno kladné číslo (délka hrany), lze vzdálenost mezi vrcholy definovat jako minimální součet délek hran podél jakékoli cesty od jednoho vrcholu k druhému. $G$
- Speciálním případem předchozího příkladu je tzv. francouzská železniční metrika , která je často uváděna jako příklad metriky negenerované normou .
Vzdálenost editace grafu definuje funkci vzdálenosti mezi grafy .

Hammingova vzdálenost v teorii kódování.
Vložené metriky , jako je Levenshteinova vzdálenost a další vzdálenosti úprav textu určují vzdálenost nad řádky .

Množina kompaktních podmnožin jakéhokoli metrického prostoru může být přeměněna na metrický prostor definováním vzdálenosti pomocí takzvané Hausdorffovy metriky . V této metrice jsou dvě podmnožiny blízko sebe, pokud pro kterýkoli bod jedné sady je možné najít blízký bod ve druhé podmnožině. Zde je přesná definice: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x,y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{matrix}}\right.\right\}

Množinu všech kompaktních metrických prostorů (až do izometrie ) lze změnit na metrický prostor definováním vzdálenosti pomocí tzv. Gromov-Hausdorffovy metriky .
Wasersteinova metrika definuje vzdálenost mezi dvěma rozděleními pravděpodobnosti .

Konstrukce

Kartézský součin metrických prostorů může být vybaven strukturou metrického prostoru mnoha způsoby, například:
1. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Tyto metriky jsou navzájem ekvivalentní.

Vlastnosti

Metrický prostor je kompaktní tehdy a jen tehdy, když je možné zvolit konvergentní podposloupnost z libovolné posloupnosti bodů (sekvenční kompaktnost).
Metrický prostor nemusí mít počitatelnou základnu , ale vždy splňuje první axiom počitatelnosti – má spočetnou základnu v každém bodě.
- Navíc každá kompaktní sada v metrickém prostoru má spočítatelnou základnu sousedství.
- Navíc v každém metrickém prostoru existuje taková báze, že každý bod prostoru patří pouze do spočetné množiny jeho prvků - bodově spočítatelné báze (tato vlastnost je však slabší než metrizovatelnost i za přítomnosti parakompaktnosti a Hausdorffness ).
metrické prostory s krátkým zobrazením tvoří kategorii , obvykle označovanou Met .

Variace a zobecnění

Pro danou množinu se funkce nazývá pseudometrická nebo semimetrická , pokud pro kterýkoli bod z ní splňuje následující podmínky: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( symetrie );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trojúhelníková nerovnost ).

To znamená, že na rozdíl od metriky mohou být různé body v nulové vzdálenosti. Pseudometrika přirozeně definuje metriku na kvocientovém prostoru , kde .

M

M/{\sim }

x\sim y\iff d(x,y)=0

Pro danou množinu se funkce nazývá kvazimetrická , pokud pro všechny body , , z ní splňuje následující podmínky: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $x$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( kvazi-symetrie );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (generalizovaná trojúhelníková nerovnost).
Metrika v prostoru se nazývá ultrametrická , pokud splňuje silnou trojúhelníkovou nerovnost : Pro všechny a v . $x$ $y$ $z$ $M$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Někdy je vhodné zvážit -metrics , tedy metriky s hodnotami . Pro jakoukoli -metriku lze sestavit konečnou metriku, která definuje stejnou topologii. Například, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}$ nebo $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

Také pro jakýkoli bod v takovém prostoru tvoří množina bodů umístěných v konečné vzdálenosti od něj obyčejný metrický prostor, nazývaný metrická složka . Zejména jakýkoli prostor s -metric může být považován za množinu běžných metrických prostorů a vzdálenost mezi libovolným párem bodů v různých prostorech může být definována jako .

x

x

\infty

\infty

Někdy je kvazimetrika definována jako funkce, která splňuje všechny axiomy pro metriku, snad s výjimkou symetrie [3] [4] . Název tohoto zobecnění není zcela ustálený [5] . Smith [4] je ve své knize nazývá „semimetrie“. Stejný termín se často používá také pro dvě další zobecnění metrik.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( pozitivita )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( pozitivní definitivnost )
3. d ( x , y ) = d ( y , x )( symetrie přeškrtnutá)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( trojúhelníková nerovnost )

S příklady kvazimetriky se setkáváme v reálném životě. Například vzhledem k množině horských vesnic tvoří doba chůze mezi prvky kvazimetriku, protože cesta nahoru trvá déle než cesta dolů. Dalším příkladem je topologie městských bloků , které mají jednosměrné ulice, kde cesta z bodu do bodu sestává z odlišné sady ulic ve srovnání s cestou z do .

X

X

A

B

B

A

V metametrics platí všechny axiomy metriky, kromě toho, že vzdálenost mezi identickými body nemusí být nutně nulová. Jinými slovy, axiomy pro metametriku jsou:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. vyplývá z (ale ne naopak.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Metametrika se objevuje při studiu Gromovových hyperbolických metrických prostorů a jejich hranic. Vizuální metametrika na takovém prostoru splňuje rovnost bodů na hranici, ale jinak je přibližně stejná jako vzdálenost od hranice. Metametriku poprvé definoval Jussi Väisälä [6] .

d(x,x)=0

x

d(x,x)

x

Oslabení posledních tří axiomů vede ke konceptu premetrické , tedy funkce, která splňuje podmínky:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

Termín se neustálil, někdy se používá pro zobecnění jiných metrik, jako je pseudosémimetrie [7] nebo pseudometrie [8] . V ruskojazyčné literatuře (a v překladech z ruštiny) se tento termín někdy objevuje jako „prametrický“ [9] [10] . Jakákoli premetrika vede k topologii následujícím způsobem. Pro kladnou reálnou je -koule se středem v bodě definována jako

r

r

p

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. Sada se nazývá otevřená , pokud pro kterýkoli bod v sadě existuje -ball se středem , který je obsažen v sadě. Jakýkoli premetrický prostor je topologický prostor a ve skutečnosti sekvenční prostor . Obecně platí, že samotné -bally nemusí být podle této topologie otevřené množiny. Pokud jde o metriky, vzdálenost mezi dvěma sadami a je definována jako

p

r

p

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Toto definuje premetrii na booleovských hodnotách premetrického prostoru. Začneme-li (pseudo-semi-)metrickým prostorem, dostaneme pseudo-semi-metriku, tedy symetrickou premetriku. Jakákoli premetrická vede k operátoru preclosure :

\operatorname {cl}

\operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\}

Pseudo- , kvazi- a semi - předpony lze kombinovat, například pseudo -kvazimetrická (někdy nazývaná hemimetrická ) oslabuje jak axiom nerozlišitelnosti, tak axiom symetrie, a je to prostě premetrika, která splňuje trojúhelníkovou nerovnost. Pro pseudokvazimetrické prostory tvoří otevřené koule základ otevřených množin. Nejjednodušším příkladem pseudokvazimetrického prostoru je množina s premetrikou danou funkcí jako a . Přidružený topologický prostor je Sierpinského prostor . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

Množiny vybavené rozšířenou pseudokvazimetrikou studoval William Lover jako „zobecněné metrické prostory“ [11] [12] . Z kategorického hlediska si rozšířené pseudometrické prostory a rozšířené pseudokvazimetrické prostory spolu s jejich odpovídajícími nerozšiřujícími se zobrazeními vedou nejlépe v kategoriích metrických prostorů. Lze vzít libovolné produkty a koprodukty a vytvořit kvocientový objekt s danou kategorií. Pokud vynecháme slovo „extended“, můžeme vzít pouze konečné produkty a koprodukty. Pokud je vynecháno "pseudo", nelze získat objekty faktoru. Přístupové prostory jsou zobecněním metrických prostorů, které zohledňují tyto dobré kategorické vlastnosti.

Lineární prostor se nazývá lineární metrický prostor, pokud je v něm uvedena vzdálenost mezi jeho prvky a algebraické operace jsou v jeho metrice spojité, tj. [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Příklad: Lineární prostor všech komplexních sekvencí lze převést na lineární metrický prostor zavedením vzdálenosti mezi jeho prvky pomocí vzorce: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Hypermetrický prostor je metrický prostor, ve kterém platí hypermetrické nerovnosti. to znamená, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

pro všechny body a celá čísla taková, že . [13]

x_1,\dots,x_n

b_{1},\dots ,b_{n}

\sum b_{i}=1

Všimněte si, že pro a se hypermetrická nerovnost stane obvyklou trojúhelníkovou nerovností $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Příklad hypermetrického prostoru: -space . $\ell _{1}$

Historie

Maurice Fréchet poprvé představil koncept metrického prostoru [14] v souvislosti s uvažováním funkčních prostorů.

Poznámky

↑ Kudryavtsev L. D. Matematická analýza. II sv. - M., Vyšší škola , 1970. - Str. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Funkční analýza. - M., Nauka , 1972. - str. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , str. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , s. 187–231.
↑ Buldygin, Kozačenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Archangelsky, Fedorčuk, 1988 , s. třicet.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , str. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , str. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Geometrie řezů a metriky, Algoritmy a kombinatorika, 15, Springer-Verlag, Berlín, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - str. 1-74.

Literatura

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Kurz metrické geometrie. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Metrické prostory . — Kvantové . - 1990. - č. 1.
Vasiliev N. Metrické prostory . — Kvantové . - 1970. - č. 10.
Skvortsov V. A. Příklady metrických prostorů // Mathematical Education Library Archived 12. January 2014 at the Wayback Machine . - 2001. - Vydání 9.
Schreider Yu. A. Co je vzdálenost? // " Populární přednášky o matematice ". - M .: Fizmatgiz, 1963 - Číslo 38. - 76 s.
Lawvere, F. William (2002), Metrické prostory, zobecněná logika a uzavřené kategorie , Dotisky v teorii a aplikacích kategorií (č. 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; přetištěno s přidaným komentářem od Lawvere, F. William (1973), Metrické prostory, zobecněná logika a uzavřené kategorie , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF0429248
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. Úvod do geometrické fyziky ] . - Singapur : World Scientific, 1995. - 699 s. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Funkční analýza a teorie řízení: Lineární systémy , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Kvazi uniformity: sladění domén s metrickými prostory , v Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. a kol., 3. konference o matematických základech sémantiky programovacího jazyka , sv. 298, Poznámky k přednáškám z informatiky, Springer-Verlag, s. 236–253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromovovy hyperbolické prostory , Expositiones Mathematicae vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Lokální dokončení zobecněných metrických prostorů, I , Theory and Applications of Categories sv. 14 (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Archivováno 26. dubna 2021 na Wayback Machine
Archangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Výsledky vědy a techniky. Moderní problémy matematiky. základní směry. Ročník 17. - VINITI , 1988. - 232 s.
Buldygin VV, Kozachenko Yu.V. Metrické charakteristiky náhodných veličin a procesů. - K. : TViMS, 1998. - 290 s.
Helemsky A. Ya Přednášky o funkcionální analýze . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (рус.)

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metrický prostor , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Daleko a blízko - několik příkladů funkcí vzdálenosti při rozříznutí uzlu .