Wasersteinova metrika

Vasersteinova metrika je přirozená metrika na prostoru pravděpodobnostních mír v metrickém prostoru .

Intuitivně, pokud každé měření měří rozložení "půdy" v metrickém prostoru M , pak Wasersteinova vzdálenost měří minimální náklady na transformaci jednoho rozložení půdy na druhé, v nejjednodušším případě se předpokládá, že náklady jsou přímo úměrné množství půdy a vzdálenost, na kterou musí být tažena.

Název „Vaserstein metric“ navrhl Dobrušin v roce 1970 na počest Leonida Vasersteina ( narozeného Leonida Vaseršteĭna ), který o něm uvažoval v roce 1969.

Definice

Nechť ( M , d ) je metrický prostor , pro který je každá míra pravděpodobnosti na M mírou radonu .

Pro p ≥ 1 označme P p ( M ) množinu všech pravděpodobnostních mír μ na M s konečným p - tým momentem : to znamená, že pro nějaký (a tedy pro jakýkoli) bod x 0 v M

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Potom je p -tá Vasersteinova metrika W p ( μ , ν ) mezi dvěma pravděpodobnostními mírami μ a ν v P p ( M ) definována jako

W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},

kde Γ( μ , ν ) označuje množinu všech měření přes M × M s okrajovými (parciálními) distribucemi μ a ν pro první a druhý parametr. (Soubor mír Γ( μ , ν ) se také nazývá množina všech párování μ s ν .)

Vlastnosti

Konvergence v této metrice je ekvivalentní slabé konvergenci měr plus konvergence prvního p - tého momentu. $W_{p}$

Duální definice W 1 je konkrétní případ Kantorovich -Rubinshteinovy věty o dualitě (1958): pokud μ a ν mají omezenou podporu, pak $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right \},$

kde supremum jsou převzaty všechny 1 - Lipschitzovy funkce f .

Pro libovolné p ≥ 1 je metrický prostor ( P p ( M ), W p ) oddělitelný a úplný , pokud ( M , d ) je oddělitelný a úplný [1] .

Viz také

Přepravní úkol

Poznámky

↑ Bogačev, VI; Kolesnikov, AV Problém Monge-Kantoroviče: úspěchy, souvislosti a perspektivy // Pokroky v matematických vědách . - RAS . — Sv. 67 . - S. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Literatura

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix . Variační formulace Fokker-Planckovy rovnice // SIAM J. Math. Anální. : deník. - 1998. - Sv. 29 , č. 1 . - S. 1-17 (elektronické) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), "Wassersteinova metrika" , v Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4