Vnitřní metrika

Vnitřní metrika je metrika v prostoru definovaná pomocí funkcionálu délky jako infimum délek všech cest (křivek) spojujících danou dvojici bodů.

Definice

Nechť je dán topologický prostor a je vybrána třída některých přípustných cest , která je obsažena v množině všech spojitých cest v . $X$ $\Gamma$ $X$

Funkční délka je uvedena na prostoru , pokud je na množině uvedena funkce , která spojuje každou s hodnotou (nezáporné číslo nebo nekonečno), která se nazývá délka cesty . $X$ $\Gamma$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ $\gamma \in \Gamma$ $L(\gamma )$ $\gamma$

Metrika prostoru se nazývá vnitřní , jestliže pro jakékoli dva body je vzdálenost mezi nimi určena vzorcem , kde infinum přebírá všechny přípustné cesty spojující body . $\rho$ $X$ $x,y\v X$ $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ $x,y\v X$

Související definice

Dovolit být dva libovolné body metrického prostoru a být libovolné kladné číslo. Bod se nazývá jejich středem if $x,y\v X$ $\rho ,X$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon }\in X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepsilon .$

Metrický prostor se nazývá geodetický , pokud mohou být jakékoli dva body spojeny nejkratší cestou . $(X,\rho)$ $X$

Vlastnosti

Jestliže je prostor s vnitřní metrikou, pak pro libovolné dva body a všechny existuje jejich -middle . V případě, že je metrický prostor úplný , dochází také k opačnému tvrzení: jestliže pro jakékoli dva body a všechny existuje jejich -middle , pak je tato metrika vnitřní. $(X,\rho)$ $x,y\v X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\v X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Úplný metrický prostor s vnitřní metrikou má následující vlastnost: pro libovolné dva body a existuje křivka délky spojující body a . Navíc v úplném metrickém prostoru s vnitřní metrikou se délka nejkratší křivky shoduje se vzdáleností mezi jejími konci. $(X,\rho)$ $x,y\v X$ $\varepsilon >0$ $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ $X$ $y$
Hopf-Rinowův teorém : Pokud je lokálně kompaktní úplný metrický prostor s vnitřní metrikou, pak mohou být libovolné dva body spojeny nejkratší cestou. Navíc je prostor ohraničeně kompaktní (to znamená, že všechny ohraničené uzavřené podmnožiny jsou kompaktní ). $(X,\rho)$ $X$ $X$ $X$

Viz také

Literatura

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Kurz metrické geometrie. - Moskva-Iževsk, Institut pro počítačový výzkum, 2004. ISBN 5-93972-300-4