Kompaktní prostor

Kompaktní prostor je určitý typ topologických prostorů , které zobecňují vlastnosti ohraničenosti a uzavření v euklidovských prostorech na libovolné topologické prostory.

V obecné topologii se kompaktní prostory svými vlastnostmi podobají konečným množinám v teorii množin .

Definice

Kompaktní prostor je topologický prostor , v jehož libovolném krytu pomocí otevřených množin existuje konečný podpokryt [1] .

Zpočátku se tato vlastnost nazývala bicompact (tento termín zavedli P. S. Aleksandrov a P. S. Uryson ) a při definici kompaktnosti se používaly počitatelné otevřené kryty . Následně se obecnější vlastnost bikompaktnosti ukázala být populárnější a postupně se jí začalo říkat jednoduše kompaktnost. Nyní termín "bikompaktnost" používají pouze topologové školy P. S. Aleksandrova. Pro prostory, které splňují druhý axiom počitatelnosti , je původní definice kompaktnosti ekvivalentní té moderní [2] .

Bourbaki a jeho následovníci zahrnují do definice kompaktnosti vlastnost Hausdorffova prostoru [2] .

Příklady kompaktních množin

Uzavřené ohraničené sady v . $\mathbb {R} ^{n}$
Konečné podmnožiny topologických prostorů.
Ascoli-Arzelův teorém poskytuje charakteristiku kompaktních množin v prostoru reálných funkcí na metrickém kompaktním prostoru s normou : uzavření množiny funkcí v je kompaktní právě tehdy, když je rovnoměrně ohraničené a ekvikontinuálně spojité . $C(X)$ $X$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
Kamenný prostor booleovských algeber .
Kompaktifikace topologického prostoru.

Související definice

Podmnožina topologického prostoru T , který je kompaktním prostorem v topologii indukované T , se nazývá kompaktní množina .
O množině se říká , že je předkompaktní (nebo kompaktní vzhledem k T ), pokud je její uzavření v T kompaktní [3] .
Prostor se nazývá sekvenční kompaktní , pokud má nějaká posloupnost v něm konvergentní podposloupnost.
Lokálně kompaktní prostor je topologický prostor, ve kterém má jakýkoli bod okolí , jehož uzávěr je kompaktní.
Ohraničeně kompaktní prostor je metrický prostor , ve kterém jsou všechny uzavřené koule kompaktní.
Pseudokompaktní prostor je Tichonovův prostor, ve kterém je ohraničena každá spojitá reálná funkce.
Počitatelně kompaktní prostor je topologický prostor, ve kterém jakýkoli spočetný kryt otevřenými množinami obsahuje konečný podpokryt.
Slabě spočetně kompaktní prostor je topologický prostor, ve kterém má jakákoli nekonečná množina limitní bod.
H-uzavřený prostor je Hausdorffův prostor uzavřený v jakémkoli obklopujícím Hausdorffově prostoru [4] .

Termín " kompaktní " se někdy používá pro metrizovatelný kompaktní prostor, ale někdy jednoduše jako synonymum pro výraz "kompaktní prostor". Také " kompaktní " se někdy používá pro Hausdorffův kompaktní prostor [5] . Dále budeme pojem " kompaktní " používat jako synonymum pro pojem "kompaktní prostor".

Vlastnosti

Vlastnosti ekvivalentní kompaktnosti:
- Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá centrovaná rodina uzavřených množin, tedy rodina, ve které jsou průsečíky konečných podrodin neprázdné, má neprázdný průnik [6] .
- Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každý směr v něm má limitní bod.
- Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každý filtr v něm má limitní bod.
- Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každý ultrafiltr konverguje alespoň k jednomu bodu.
- Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá nekonečná podmnožina v něm má alespoň jeden bod úplné akumulace v . $X$ $X$
Další obecné vlastnosti:
- Pro jakékoli souvislé mapování je obrazem kompaktní sady kompaktní sada.
- Weierstrassova věta . Jakákoli spojitá reálná funkce na kompaktním prostoru je ohraničená a dosahuje svých maximálních a minimálních hodnot.
- Uzavřená podmnožina kompaktní množiny je kompaktní.
- Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřena .
- Kompaktní Hausdorffův prostor je normální .
- Hausdorffův prostor je kompaktní právě tehdy, když je pravidelný a H-uzavřený [4] .
- Hausdorffův prostor je kompaktní právě tehdy, když je každá z jeho uzavřených podmnožin H-uzavřená [4] .
- Tichonovův teorém: Součin libovolné (ne nutně konečné) množiny kompaktních množin (s topologií součinu ) je kompaktní.
- Jakékoli souvislé mapování jedna ku jedné z kompaktní množiny do Hausdorffova prostoru je homeomorfismus .
- Kompaktní množiny se „chovají jako body“ [7] . Například: v Hausdorffově prostoru mají jakékoli dvě neprotínající se kompaktní množiny neprotínající se sousedství, v pravidelném prostoru mají jakékoli neprotínající se kompaktní a uzavřené množiny neprotínající se sousedství, v Tichonovově prostoru jakékoli neprotínající se kompaktní a uzavřené množiny jsou funkčně oddělitelné .
- Každý konečný topologický prostor je kompaktní.

Vlastnosti kompaktních metrických prostorů:
- Metrický prostor je kompaktní tehdy a pouze tehdy, když jakákoli posloupnost bodů v něm obsahuje konvergentní podposloupnost.
- Hausdorffova věta o kompaktnosti dává nezbytné a dostatečné podmínky pro kompaktnost množiny v metrickém prostoru.
- Pro konečné -dimenzionální euklidovské prostory je podprostor kompaktní právě tehdy, když je ohraničený a uzavřený . Prostory s touto vlastností údajně splňují Heine-Borelovu vlastnost [8] .
- Lebesgueovo lemma : Pro jakýkoli kompaktní metrický prostor a otevřený kryt existuje kladné číslo , takže každá podmnožina, jejíž průměr je menší než , je obsažena v jedné z množin . Takovému číslu se říká Lebesgueovo číslo. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \v A$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Viz také

Zhutňování

Poznámky

↑ Viro et al., 2012 , str. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , str. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , str. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , str. 209.
↑ Engelking, 1986 , s. 208.
↑ Viz také Lemma o vnořených segmentech
↑ Engelking, 1986 , s. 210.
↑ Viz také Bolzanova-Weierstrassova věta#Bolzanova-Weierstrassova věta a pojem kompaktnosti

Literatura

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Prvky teorie funkcí a funkcionální analýza. - 4. vyd. -M.:Nauka, 1976. (Ruština)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O.A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V.M. Elementary topology. - 2. vyd., opraveno .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Ruština)
Protasov, V. Yu. Maxima a minima v geometrii. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 s. - (Knihovna "Matematická výchova", číslo 31). (Ruština)
Schwartz, L. Analýza. -M.:Mir, 1972. - T.I. (Ruština)
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka , 1968. (Ruština)
Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s. (Ruština)
Archangelsky, A.V. Bikompaktní prostor //Matematická encyklopedie. —M.: Sovětská encyklopedie, 1977-1985. (Ruština)
Voitsekhovsky, M. I. Kompaktní prostor // Mathematical Encyclopedia . — M .: Sovětská encyklopedie, 1977-1985. (Ruština)

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Universalis