Gromovova věta o kompaktnosti (Riemannova geometrie)

Gromovova věta o kompaktnosti nebo Gromovova věta o výběru uvádí, že množina Riemannových variet dané dimenze s Ricciho křivostí ≥ c a průměrem ≤ D je v Gromovově–Hausdorffově metrice relativně kompaktní .

Historie

Větu dokázal Gromov , [1] v důkazu je použita Bishop-Gromovova nerovnost .

Objevení se této věty podnítilo studium Alexandrovových prostorů se zakřivením ohraničeným níže v dimenzích 3 a vyšších a později zobecněných prostorů s Ricciho zakřivením ohraničeným níže.

Variace a zobecnění

Věta je zobecněním Myersova teorému .

Gromovův teorém je důsledkem následujícího tvrzení.

Jakákoli univerzálně zcela ohraničená rodina metrických prostorů je v Gromovově-Hausdorffově metrice relativně kompaktní.
- O rodině metrických prostorů se říká, že je univerzálně zcela ohraničená, pokud pro jakýkoli existuje kladné celé číslo , takže jakýkoli prostor z připouští -síť nanejvýš bodů. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$

Viz také

Blaschkeho teorém o výběru

Poznámky

↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , sv. 1, Textes Mathématiques [Matematické texty], Paříž: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8

Literatura

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Kurz metrické geometrie. - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .