Bishop-Gromov nerovnost

Bishop-Gromov nerovnost je teorém srovnání v Riemannian geometrii . Je to klíčové tvrzení v důkazu Gromovovy věty o kompaktnosti [1] .

Nerovnost je pojmenována po Richardu Bishopovi a Michailu Gromovovi .

Formulace

Nechť je kompletní n - rozměrná Riemannovská varieta s Ricciho křivostí ohraničenou níže , tj. $M$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

pro konstantní . $K\in \mathbb {R}$

Označme koulí o poloměru r kolem bodu p , definovaného s ohledem na Riemannovu funkci vzdálenosti . ${\displaystyle B(p,r)_{M))$

Označme n - rozměrný modelový prostor. To znamená , že kompletní n - rozměrný jednoduše propojený prostor konstantního průřezového zakřivení . Takto, $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $K$

$\mathbb {M} ^{n}(K)$ je n - koule o poloměru jestliže , nebo $1/{\sqrt {K}}$ $K>0$
n - rozměrný euklidovský prostor jestliže , nebo $K=0$
Lobačevského prostor se zakřivením . $K<0$

Pak pro libovolnou a funkci $p\in M$ ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M)){\operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ mathbb {M} ^{n}(K)}}}

se v intervalu nezvyšuje . $(0,\infty )$

Poznámky

Pro , nerovnost lze zapsat následovně $K=0$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M))$

v .

\lambda \geqslant 1

Pokud r tíhne k nule, pak se poměr blíží jedné, takže spolu s monotónností to znamená, že $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Tuto verzi poprvé dokázal Bishop [2] [3] .

Viz také

Myersova věta

Poznámky

↑ Yu.D. Burago , V. A. Zalgaller , Úvod do Riemannovy geometrie 1991, str. 320, (22,5)
↑ Bishop, R. Vztah mezi objemem, středním zakřivením a průměrem. amer. Matematika. soc. Ne. 10 (1963), str. 364.
↑ Bishop RL, Crittenden RJ Geometrie manifoldů, Důsledek 4, str. 256