Myersova věta

Myersův teorém je klasický teorém v Riemannově geometrii .

Formulace

Pokud je Ricciho zakřivení kompletního - dimenzionálního Riemannova manifoldu ohraničeno pro některé kladnou hodnotou , pak jeho průměr nepřesahuje . Navíc, jestliže průměr je , pak rozdělovač sám je izometrický ke kouli konstantního průřezového zakřivení . $n$ $M$ $(n-1)k$ $k$ $\pi /{\sqrt {k))$ $\pi /{\sqrt {k))$ $k$

Důsledky

Tento výsledek zůstává platný pro univerzální pokrytí takového Riemannova potrubí . Zejména univerzální obal je konečný, a proto je základní grupa konečná. $M$ $M$ $\pi _{1}M$

Historie

Pro dvourozměrné povrchy byla věta prokázána Hopfem a Rinowem. [jeden]

Věta je někdy pojmenována po Ossianovi Bonnetovi kvůli jeho dalšímu výsledku o klasifikaci povrchů s pozitivní Gaussovou křivostí [2] (tento výsledek přímo nesouvisí s tvrzením Myersovy věty).

Větu dokázal Myers . [3]

Případ rovnosti ve větě dokázal Cheng v roce 1975. [čtyři]

Viz také

Gromovova věta o kompaktnosti (Riemannova geometrie)

Poznámky

↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen Differentgeometrischen Fläche. (německy) Komentář. Matematika. Helv. 3 (1931), čís. 1, 209-225.
↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques proprietes des lignes geodésiques." ČR akad. sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
↑ Myers, S. B. (1941), Riemannovské manifoldy s pozitivním středním zakřivením , Duke Mathematical Journal vol . 8(2): 401–404 , DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Věty o porovnání vlastních hodnot a jejich geometrické aplikace , Mathematische Zeitschrift T. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01214381