Markovská čísla

Markovova čísla jsou kladná čísla x , y nebo z , která jsou řešením Diofantovy Markovovy rovnice

kterou studoval Andrey Markov [1] [2] .

Prvních několik Markovových čísel

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233, 433, 610, 985, 1325, ... ( A002559 ),

objevující se jako souřadnice Markovových trojic

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (89, 233) , 62210) atd.

Markovových čísel a markovských trojic je nekonečně mnoho.

Markov strom

Existuje snadný způsob, jak získat novou Markovovu trojici ze staré trojice ( x ,  y ,  z ). Nejprve normalizujeme trojici x , y , z přeskupením čísel tak, aby x  ≤  y  ≤  z . Dále, pokud ( x ,  y ,  z ) je Markovova trojice, pak po provedení Vieta skoku dostaneme ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Pokud tuto operaci použijeme podruhé, dostaneme původní trojnásobek. Pokud spojíte každou normalizovanou Markovovu trojici s 1, 2 nebo 3 normalizovanými trojicemi, můžete získat graf (strom), který má u kořene trojici (1,1,1), jako na obrázku. Tento graf je propojený. Jinými slovy, libovolnou Markovovu trojici lze získat z (1,1,1) jako výsledek posloupnosti operace popsané výše [3] . Pokud začneme řekněme trojicí (1, 5, 13), dostaneme tři sousední trojice - (5, 13, 194), (1, 13, 34) a (1, 2, 5) Markova stromu. , je-li za z 1, 5 a 13, resp. Pokud začneme s (1, 1, 2) a před každou operací prohodíme y a z , dostaneme Fibonacciho trojice . Pokud začneme se stejnou trojicí a prohodíme x a z , dostaneme Pellova čísla .

Všechna Markovova čísla získaná první metodou jsou Fibonacciho čísla s lichými indexy ( A001519 ) a čísla získaná druhou metodou jsou Pellova čísla s lichými indexy (nebo čísla n taková, že 2 n 2  − 1 je čtverec, A001653 ). Markovových trojitých forem tedy existuje nekonečně mnoho

kde F x je x -té Fibonacciho číslo. Stejně tak je nekonečně mnoho markovských trojic formy

kde Px je x -té Pellovo číslo [4]

Další vlastnosti

Kromě dvou nejmenších speciálních trojic (1,1,1) a (1,1,2) se všechny Markovovy trojice skládají ze tří různých celých čísel [5] .

Hypotéza jednoznačnosti říká, že pro dané Markovovo číslo c existuje právě jedno normalizované řešení, ve kterém je c největším prvkem - důkazy této skutečnosti byly oznámeny, ale žádný z nich není považován za uspokojivý [6] .

Lichá Markovova čísla jsou shodná s 1 modulo 4, zatímco sudá čísla jsou shodná s 2 modulo 32 [7] .

V článku z roku 1982 Don Zagir předpokládal, že n-té Markovovo číslo je asymptoticky dáno

, kde

Navíc poukázal na to, že , aproximace původní diofantinské rovnice, je ekvivalentní f ( t ) = oblouk (3 t /2) [8] . Tuto domněnku dokázali [9] Greg McShane a Igor Rivin v roce 1995 pomocí techniky hyperbolické geometrie [10] .

N-té Lagrangeovo číslo lze vypočítat z n-tého Markovova čísla pomocí vzorce

Markovova čísla jsou součty (nejedinečných) dvojic čtverců.

Markovova věta

Markov [1] [11] ukázal, že pokud

je neurčitá binární kvadratická forma s reálnými koeficienty a diskriminantem , pak existují celá čísla x ,  y , pro která f nabývá nenulové hodnoty nepřesahující v absolutní hodnotě

,

pokud f není Markovova forma [12] — forma vynásobená konstantou

,

kde ( p ,  q ,  r ) je Markovova trojice and

Matrice

Pokud X a Y patří do SL 2 ( C ), pak

Tr ( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) + Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) + 2 = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2

takže v případě Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) = −2

Tr( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2

Konkrétně, pokud X a Y mají celočíselné složky, pak Tr( X )/3, Tr( Y )/3 a Tr( X⋅Y ) /3 je Markovova trojice . Pokud X ⋅ Y ⋅ Z  =  E , pak Tr( X ⋅ Y ) = Tr( Z ), symetričtější, pokud X , Y a Z jsou v SL 2 ( Z ) s X ⋅ Y ⋅ Z  = E a komutátorem dvou z nich má stopu −2, pak jejich stopy/3 jsou Markovova trojice [13] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Markov, 1879 .
  2. ↑ Markov, 1880 .
  3. ↑ Casssels, 1957 , s. 28.
  4. ↑ A030452 uvádí Markovova čísla, která se objevují v řešeních s x = 5.
  5. ↑ Casssels, 1957 , s. 27.
  6. ↑ Chlap, 2004 , str. 263.
  7. ↑ Zhang, 2007 , str. 295–301.
  8. ↑ Zagier, 1982 , s. 709–723.
  9. ↑ Ne všichni autoři souhlasí s tím, že domněnka je prokázána, protože McShane a Rivin to dokázali s chybou .
  10. ↑ McShane, Rivin, 1995 .
  11. ↑ Markov, 1880 .
  12. ↑ Casssels, 1957 , s. 39.
  13. ↑ Aigner, 2013 , str. 63–77.

Literatura