Ortogonální polynomy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice je posloupnost ortogonálních polynomů nekonečná posloupnost skutečných polynomů

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

kde každý polynom má stupeň a také nějaké dva různé polynomy této sekvence jsou navzájem ortogonální ve smyslu nějakého skalárního součinu daného v prostoru . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Koncept ortogonálních polynomů byl zaveden na konci 19. století. v pracích P. L. Čebyševa o spojitých zlomcích a později vyvinuté A. A. Markovem a T. I. Stiltjesem a našly různé aplikace v mnoha oblastech matematiky a fyziky .

Definice

Ortogonalita s váhou

Nechť je interval na reálné ose (konečné nebo nekonečné). Tato mezera se nazývá interval ortogonality . Nechat $(a,b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

daná spojitá přísně kladná funkce uvnitř intervalu. Taková funkce se nazývá váha nebo jednoduše váha . Funkce souvisí s prostorem funkcí, pro který integrál konverguje $(a,b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty

Do výsledného prostoru můžete zadat skalární součin vzorcem

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

pro skutečné funkce,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

pro komplexní funkce.

Jestliže skalární součin dvou funkcí je roven nule , pak takové funkce jsou volány ortogonal s váhou . Mezi ortogonálními polynomy jsou zpravidla uvažovány pouze reálné funkce. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Klasické znění

Polynomiální systém

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

se nazývá ortogonální jestliže

$p_n(x)$ je polynom stupně , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , kde je symbol Kronecker , je normalizační faktor. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

O ortogonálním základu se říká , že je ortonormální , pokud všechny jeho prvky mají jednotkovou normu . Některé z níže uvedených klasických polynomů lze normalizovat podle nějakého jiného pravidla. Pro takové polynomy se hodnoty liší od jednoty a jsou uvedeny v tabulce níže. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Obecné vlastnosti posloupností ortogonálních polynomů

Opakující se vztahy

Jakékoli ortogonální polynomy splňují následující opakující se vzorec týkající se tří po sobě jdoucích polynomů ze systému:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

kde

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

a jsou koeficienty u členů a v polynomu

{\displaystyle k'_{n))

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Tento vzorec zůstává platný pro , pokud dáme . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Důkaz

Dokažme, že pro libovolné n existují takové koeficienty a , b a c , pro které platí poslední rekurentní relace.

Zvolíme a tak, aby koeficient at v polynomu zmizel $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

je polynom n-tého stupně.

Zvolíme b , aby koeficient at v polynomu zmizel $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polynom (n-1) -tý stupeň.

Rozšiřujeme polynom do řady (to je možné, protože systém ortogonálních polynomů je kompletní)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Výsledný výraz je skalárně vynásoben mocninami $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Snižte výraz pomocí ortogonality polynomů a permutační vlastnosti skalárního součinu

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Jestliže , pak má polynom stále stupeň menší než n a je ortogonální k . Proto pro . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Nenulový koeficient je tedy pouze pro a nastavením získáme požadovaný vztah

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Darbouxův vzorec

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

nebo kdy $y\to x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\vpravo]$

Kořeny polynomů

Všechny kořeny polynomu jsou jednoduché, reálné a všechny leží v intervalu ortogonality . $p_n(x)$ $\left[a;b\right]$

Důkaz

Předpokládejme, že uvnitř intervalu ortogonality mění znaménko pouze v bodech. Pak existuje polynom stupně takový, že . Na druhou stranu, polynom může být reprezentován jako lineární kombinace polynomů , což znamená, že je ortogonální , to znamená . Výsledný rozpor dokazuje naše tvrzení. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

Mezi dvěma po sobě jdoucími kořeny polynomu je právě jeden kořen polynomu a alespoň jeden kořen polynomu , for . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Minimalita normy

Každý polynom v ortogonální posloupnosti má minimální normu mezi všemi polynomy stejného stupně a se stejným prvním koeficientem. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Důkaz

Je-li dáno n , jakýkoli polynom p(x) stupně n se stejným prvním koeficientem může být reprezentován jako

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Pomocí ortogonality splňuje čtvercová norma p(x) .

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Protože jsou normy kladné, musíte vzít odmocniny obou stran a dostanete výsledek.

Úplnost systému

Systém ortogonálních polynomů je kompletní. To znamená, že jakýkoli polynom stupně n může být reprezentován jako řada $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

kde jsou expanzní koeficienty. $\alpha$

Důkaz

Dokázáno pomocí matematické indukce. Volíme tak, že je polynom stupně menší než . Dále na indukci. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Diferenciální rovnice vedoucí k ortogonálním polynomům

Velmi důležitá třída ortogonálních polynomů vzniká při řešení diferenciální rovnice následujícího tvaru:

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

kde a jsou dané polynomy druhého a prvního řádu a jsou neznámé funkce a koeficienty. Tato rovnice se nazývá Sturm-Liouvilleův problém a lze ji přepsat do své standardnější podoby $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

kde Řešení této rovnice vede k množině vlastních hodnot a množině vlastních funkcí s následujícími vlastnostmi: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \tečky$ $P_{0},P_{1},P_{2},\tečky$

$P_n(x)$ je polynom stupně n v závislosti na ${\lambda}_n$

sekvence je ortogonální s váhovou funkcí $P_{0},P_{1},P_{2},\tečky$ $W(x)$

Interval ortogonality závisí na kořenech polynomu Q a kořen L je uvnitř intervalu ortogonality

Čísla a polynomy lze získat ze vzorců $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)

Rodriguesův vzorec .

Diferenciální rovnice má netriviální řešení pouze tehdy, je-li splněna jedna z následujících podmínek. Ve všech těchto případech se při změně měřítka a/nebo posunutí definičního oboru a výběru normalizační metody redukují polynomy řešení na omezenou množinu tříd, které se nazývají klasické ortogonální polynomy .

1. Jacobilike polynomy Q je polynom druhého řádu, L je prvního řádu. Kořeny Q jsou odlišné a skutečné, kořen L leží přísně mezi kořeny Q . První koeficienty Q a L mají stejné znaménko. Pomocí lineární transformace se rovnice redukuje na s intervalem ortogonality . Řešením jsou Jacobiho polynomy nebo jejich speciální případy , Gegenbauerovy , Legendreovy nebo Čebyševovy polynomy obou typů , .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)} (x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Laguerrovy polynomy Q a L jsou polynomy prvního řádu. Kořeny Q a L jsou různé. První koeficienty Q a L mají stejné znaménko, pokud je odmocnina L menší než odmocnina Q a naopak. Snižuje na a interval ortogonality . Řešením jsou zobecněné Laguerrovy polynomy nebo jejich konkrétní případ, Laguerrovy polynomy .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)} (x)

L_n(x)

3. Hermitovské polynomy Q je nenulová konstanta, L je polynom prvního řádu. První koeficienty Q a L mají opačné znaménko. Snižuje na a interval ortogonality . Řešením jsou Hermitovy polynomy .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Derivace ortogonálních polynomů

Označme jako m -tou derivaci polynomu . Derivace je polynom stupně a má následující vlastnosti: $P_n^{m} (x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m} (x)$ $nm$

ortogonalita

Pro dané m je posloupnost polynomů ortogonální s váhovou funkcí

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \tečky

W(x)[Q(x)]^m

Rodriguův vzorec

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\vpravo)

diferenciální rovnice

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, kde

y(x)=P_n^{m}(x)

diferenciální rovnice druhého druhu

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, kde

y(x)=P_n^{m}(x)

rekurence relace (pro usnadnění jsou koeficienty a , b a c vynechány indexy n a m )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Klasické ortogonální polynomy

Klasické ortogonální polynomy, které jsou odvozeny z diferenciální rovnice popsané výše, mají mnoho důležitých aplikací v oblastech, jako je matematická fyzika, numerické metody a mnoho dalších. Jejich definice a hlavní vlastnosti jsou uvedeny níže.

Jacobiho polynomy

Jacobiho polynomy se označují , kde parametry a reálná čísla jsou větší než -1. Jestliže a nejsou stejné, polynomy již nejsou symetrické vzhledem k bodu . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $x=0$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Diferenciální rovnice

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alfa-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Vlastní čísla

\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)

Opakující se vzorec

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( X),

kde

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}

Normalizace

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Gegenbauerovy polynomy

Gegenbauerovy polynomy se označují , kde parametrem je reálné číslo větší než −1/2. Je odvozen z Jacobiho polynomů pro stejné parametry a $C_n^{(\alpha)} (x)$ $\alpha$ $\alpha$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2 \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

Zbývající Jacobiho polynomy jsou speciálním případem Gegenbauerových polynomů se zvoleným parametrem a odpovídající normalizací. $\alpha$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Diferenciální rovnice

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Vlastní čísla

\lambda_n = n(n+2\alpha)

Opakující se vzorec

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizace

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

-li

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Další vlastnosti

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendreovy polynomy

Legendreovy polynomy se označují a jsou speciálním případem Gegenbauerových polynomů s parametrem $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=1$ $[-1,1]$

Diferenciální rovnice

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Vlastní čísla

\lambda_n = n(n+1)

Opakující se vzorec

(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)

Normalizace

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Několik prvních polynomů

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Čebyševovy polynomy

Čebyševův polynom se často používá k aproximaci funkcí jako polynom stupně , který se v intervalu nejméně odchyluje od nuly. $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

Je speciálním případem normalizovaného Gegenbauerova polynomu pro parametr $\alpha \na 0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Diferenciální rovnice

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Vlastní čísla

\lambda_n = n^2

Opakující se vzorec

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalizace

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matice} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\vpravo. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

Čebyševův polynom druhého druhu je charakterizován jako polynom, jehož integrál absolutní hodnoty se nejméně ze všech odchyluje od nuly na intervalu $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Diferenciální rovnice

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalizace

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Laguerrovy polynomy

Přidružené nebo zobecněné Laguerrovy polynomy se označují tam, kde je parametrem reálné číslo větší než -1. Pro zobecněné polynomy jsou redukovány na běžné Laguerrovy polynomy $L_n^{(\alpha)} (x)$ $\alpha$ $\alpha = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Diferenciální rovnice

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Vlastní čísla

\lambda_n = n

Opakující se vzorec

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizace

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Další vlastnosti

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Hermitovy polynomy

Váhová funkce na intervalu ortogonality $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Diferenciální rovnice

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Vlastní čísla

\lambda_n = 2n

Opakující se vzorec

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalizace

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

Několik prvních polynomů

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Konstrukce ortogonálních polynomů

Gram-Schmidtův ortogonalizační proces

Systém ortogonálních polynomů lze sestavit aplikací Gram-Schmidtova procesu na systém polynomů následovně. Definujme projektor jako $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

pak se podle schématu postupně vypočítají ortogonální polynomy

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{zarovnat}

Tento algoritmus patří mezi numericky nestabilní algoritmy. Při výpočtu expanzních koeficientů se s rostoucím polynomickým číslem hromadí zaokrouhlovací chyby a chyby numerické integrace.

Podle momentů funkce váhy

Váhová funkce definovaná na intervalu jednoznačně určuje systém ortogonálních polynomů až do konstantního faktoru. Označte čísly $w(x)$ $\left[a;b\right]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

momenty váhové funkce, pak může být polynom reprezentován jako: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right]

Složitost výpočtu ortogonálních polynomů je určena složitostí výpočtu maticového determinantu . Stávající algoritmické implementace výpočtu vyžadují minimum operací. $O(n^{3})$

Důkaz

Dokažme, že takto definovaný polynom je ortogonální ke všem polynomům stupně menšího než n . Zvažte skalární součin zapnutý pro . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matrix} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matrix } \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Protože matice má dva odpovídající řádky pro . $k<n$

Podle opakujících se vzorců

Zvolíme-li normalizaci polynomu tak, že koeficient hlavního členu je roven jedné, lze rekurenci rekurence přepsat do následující podoby: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

kde

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Aplikace ortogonálních polynomů

Ortogonální polynomy se používají ke konstrukci přesných kvadraturních vzorců

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

kde a jsou uzly a váhy kvadraturního vzorce. Kvadraturní vzorec je přesný pro všechny polynomy až do stupně včetně . V tomto případě jsou uzly kořeny n-tého polynomu z posloupnosti polynomů ortogonálních s váhovou funkcí . Hmotnosti jsou vypočteny z Christoffel-Darbouxova vzorce. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x), p_1(x), ...$ $w(x)$ $w_{i}$

Také Čebyševovy polynomy prvního a druhého typu se často používají k aproximaci funkcí. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Poznámky

Odkazy

Gabor Szego. Ortogonální polynomy (neurčité) . - Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Fourierovy řady a ortogonální polynomy . - New York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Speciální funkce a ortogonální polynomy . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Theodore Seio Chihara. Úvod do ortogonálních polynomů . - Gordon a Breach, New York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

Pro další čtení

Ismail, Mourad EH klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Totik Ortogonální polynomy (neurčité) // Průzkumy v teorii aproximace. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Besselovy funkce, funkce parabolického válce, ortogonální polynomy // Vyšší transcendentální funkce. T. 2. / Per. z angličtiny. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 s.

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy