Jacobiho polynomy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. října 2018; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Jacobiho ortogonální polynomy
obecná informace
Vzorec	${\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \vyberte m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}$
Skalární součin	$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x )\,dx}$
Doména	$[-1,\;1]$
doplňkové vlastnosti
Diferenciální rovnice	${\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\ alfa +\beta +1)y=0\end{aligned}}$
Pojmenoval podle	Carl Jacobi

Jacobiho polynomy (nebo Jacobiho polynomy ) jsou třídou ortogonálních polynomů. Pojmenován po Carlu Gustafovi Jacobimu .

Definice

Pocházejí z hypergeometrických funkcí v případech, kdy jsou následující řady konečné [1] :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1 }\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),

kde je symbol Pochhammer (pro rostoucí faktoriál ), a proto je výraz odvozen $(\alpha +1)_{n}$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\ beta +n+1)}}\součet _{m=0}^{n}{n \vyberte m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma ( \alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},

Odtud jedna z konečných hodnot je následující

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.

Za celek $n$

{z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1))),

kde je obvyklá funkce gama a $\Gamma(z)$

{z \choose n}=0\quad {\text{for))\quad n<0.

Tyto polynomy splňují podmínku ortogonality

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )} (x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta + 1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!)}}\delta _{nm} ,

pro a . $\alpha >-1$ $\beta >-1$

Pro Jacobiho polynomy existuje vztah symetrie.

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z );

a proto ještě jeden význam polynomů:

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.

Pro skutečný Jacobiho polynom může být zapsán následovně. $X$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\součet _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose ns}\left({\ frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},

kde a . $s\geqslant 0$ $ns\geqslant 0$

Ve speciálním případě, kdy jsou , , a nezáporná celá čísla, může mít Jacobiho polynom následující tvar $n$ $n+\alfa$ $n+\beta$ $n+\alpha +\beta$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(ns)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\ frac {x+1}{2}}\right)^{s}.

Součet přebírá všechny celočíselné hodnoty , pro které jsou faktory integrální. $s$

Tento vzorec umožňuje vyjádřit Wignerovu d-matici ( ) pomocí Jacobiho polynomů $d_{m'm}^{j}(\varphi )$ $0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi$

d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+ \mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )

, [2] kde

\mu =|mm'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2))(\mu +\nu )

Hodnota je určena vzorcem ${\displaystyle \xi _{m'm))$

$\xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\ text{if }}m<m'\end{cases}}$

Deriváty

$k$ -tá derivace explicitního výrazu vede k

{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)= {\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)))P_{nk}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).

Poznámky

↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1965), "Chapter 22" Archived 17 August 2005 at Wayback Machine , Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0 , MR0167642
↑ Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Chersonsky V. K. Kvantová teorie momentu hybnosti. — 1975.

Literatura

Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Speciální funkce , sv. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR : 1688958 , ISBN 978-0-521-62321-6 ; 978-0-521-78988-2 .
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S.C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Ortogonální polynomy , NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy