Hermitovy polynomy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hermitovy polynomy
obecná informace
Vzorec	$H_{n}(x)=\součet _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Skalární součin	$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Doména	$x\v R$
doplňkové vlastnosti
Diferenciální rovnice	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Norma	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi ))))$
Pojmenoval podle	Charles Hermite

Hermitovy polynomy jsou určitým typem posloupnosti polynomů jedné reálné proměnné. Hermitské polynomy vyvstávají v teorii pravděpodobnosti , v kombinatorice a fyzice .

Pojmenován po francouzském matematikovi Charlesi Hermiteovi .

Definice

V teorii pravděpodobnosti jsou Hermitovy polynomy obvykle definovány takto:

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

ve fyzice se obvykle používá jiná definice:

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

Dvě výše uvedené definice nejsou navzájem přesně ekvivalentní; každý je "zmenšenou" verzí druhého

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)

Explicitní výrazy pro prvních jedenáct (n = 0,1,…,10) Hermitových polynomů jsou uvedeny níže (pravděpodobnostní definice):

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

Prvních jedenáct (n = 0,1,…,10) Hermitových polynomů ve fyzikální definici je definováno podobně:

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

Obecná rovnice pro Hermitovy polynomy je: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lpatro n/2\rpatro }{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$

Vlastnosti

Polynom obsahuje pouze členy stejné parity jako samotné číslo : $H_n(x)$ $n$
Polynom je sudý pro sudý a lichý pro liché : $H_n(x)$ $n$ $n$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\ldots$ .
Následující vztahy jsou pravdivé: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ , (v pravděpodobnostní definici) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\ldots$ . (ve fyzické definici)
Rovnice má reálné kořeny, které jsou párově symetrické vzhledem k počátku souřadnicového systému a modul každého z nich nepřesahuje . Polynomiální kořeny se střídají s polynomiálními kořeny . $H_{n}(x)=0$ $n$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Polynom může být reprezentován jako maticový determinant : $H_n(x)$ $n\krát n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Sčítací vzorec

Pro Hermitovy polynomy platí následující sčítací vzorec:

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\sum _{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

Je snadné vidět, že následující vzorce jsou jeho speciální případy:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Pak $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(X)

$n=2$ , , . Pak $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\součet _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Relace diferenciace a rekurence

Derivace třetího řádu Hermitova polynomu je také Hermitův polynom (pro fyzikální definici): To dává vztah pro první derivaci (pro fyzikální definici) a rekurentní vztah mezi třemi po sobě jdoucími polynomy: Pro fyzikální definici je rekurence mezi třemi po sobě jdoucími polynomy je: $k$ $H_n(x)$ $n\geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonalita

Hermitovy polynomy tvoří úplný ortogonální systém na intervalu s váhou nebo v závislosti na definici: $(-\infty,+\infty)$ $e^{-x^{2}/2}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}

, (v pravděpodobnostní definici)

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (ve fyzické definici)

kde je symbol delty Kronecker . $\delta _{{mn}}$

Důležitým důsledkem ortogonality Hermitových polynomů je možnost rozšíření různých funkcí do řad v podmínkách Hermitových polynomů. Pro jakékoli nezáporné celé číslo je zápis $p$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

Z toho vyplývá souvislost mezi koeficienty expanze funkce v Maclaurinově řadě a koeficienty expanze stejné funkce z hlediska Hermitových polynomů, které se nazývají Niels Nielsenovy vztahy: $f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\součet _{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

Například rozšíření funkce Kummer bude vypadat takto:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\součet _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\ekviv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

kde je zobecněná hypergeometrická funkce druhého řádu, je funkce gama . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Rozklad funkcí, ve kterých je exponent .

Pro libovolnou funkci, která je zapsána jako superpozice exponentu , lze napsat následující expanzi z hlediska Hermitových polynomů: $f(x)=\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$
$f(x)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\součet _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{({\frac {\alpha _{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Expanze známých hyperbolických a goniometrických funkcí mají tvar

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\součet _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+ 1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Diferenciální rovnice

Hermitovy polynomy jsou řešením lineární diferenciální rovnice : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Jestliže je celé číslo, pak se obecné řešení výše uvedené rovnice zapíše jako $n$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

kde jsou libovolné konstanty a funkce se nazývají Hermitovy funkce druhého druhu . Tyto funkce nejsou redukovány na polynomy a lze je vyjádřit pouze pomocí transcendentálních funkcí a . $A,B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Zobrazení

Hermitovy polynomy předpokládají následující reprezentace:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

kde je obrys, který ohraničuje počátek. $\Gamma$

Další reprezentace vypadá takto:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Vztah k dalším speciálním funkcím

Vztah s funkcí Kummer: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)$
Spojení s Laguerreovými polynomy : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Aplikace

V kvantové mechanice zadávají Hermitovy polynomy výraz pro vlnovou funkci kvantového harmonického oscilátoru . V bezrozměrných proměnných má Schrödingerova rovnice , která popisuje stav kvantového harmonického oscilátoru, tvar:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n} (x)

. Řešením této rovnice jsou vlastní funkce oscilátoru, které odpovídají vlastním číslům . Normalizované na jedničku se píší jako

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\tečky

. V tomto výrazu se používají "fyzické" Hermitovy polynomy .

H_{n}^{*}(x)

Hermitovy polynomy se používají při řešení jednorozměrné rovnice tepla na nekonečném intervalu. Tato rovnice má řešení ve formě exponenciální funkce . Protože taková funkce může být reprezentována jako expanze z hlediska Hermitových polynomů, a na druhé straně, může být rozšířena v Taylorově řadě z hlediska : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alpha$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ { n} (x, t)

, pak funkce , které jsou řešením tepelné rovnice a splňují počáteční podmínku , jsou vyjádřeny pomocí Hermitových polynomů takto:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\vpravo )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy) )^{2}}{4t}}}}y^{n}dy

. K získání poslední rovnosti byl použit Poisson -Fourierův integrál .

V laserové fyzice, nebo spíše v teorii otevřených (optických) rezonátorů , jsou Hermitovy polynomy zahrnuty ve výrazu popisujícím rozložení amplitudy v průřezu odpovídajícího příčného Hermite-Gaussova módu (ve skutečnosti součin jednoho z Hermitovy polynomy a Gaussova funkce ), charakteristické pro optické rezonátory s pravoúhlým tvarem zrcadel rezonátoru.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Modul pro Hermitovu polynomiální interpolaci od Johna H. Mathewse

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy