Opakující se vzorec

Rekurentní formule je formule, která vyjadřuje každý člen posloupnosti v podmínkách předchozích členů a čísla člena posloupnosti . $a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\tečky ,a_{np})$ $a_n$ $p$ $n$

Obecná problematika výpočtů pomocí rekurzivních vzorců je předmětem teorie rekurzivních funkcí .

Rekurentní rovnice je rovnice, která spojuje několik po sobě jdoucích členů určité číselné posloupnosti. Posloupnost, která splňuje takovou rovnici, se nazývá rekurentní posloupnost .

Příklady

Faktoriální funkce přirozeného čísla splňuje opakující se vzorec: $n!={\begin{cases}1,&n=0;\\(n-1)!\cdot n,&n\geqslant 1.\end{cases))$

Fibonacciho čísla jsou dána lineárním rekurentním vzorcem : $F_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant 2.\ end{cases}}$

Hodnota integrálu vyhovuje opakujícímu se vzorci: $\textstyle I_{n}=\int \sin ^{n}x\,dx$ $I_{n}={\frac {-\cos x\cdot \sin ^{n-1}x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2 }.$

Řešení Besselovy diferenciální rovnice lze zapsat jako mocninnou řadu : $y''+(1/x)y'+(1-\nu ^{2}/x^{2})y=0$ $y=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{2n+\nu }.$

Pro určení koeficientů stačí stanovit, že pro všechny . Poté je okamžitě získán známý výsledek:

a_n

4n(n+\nu )a_{n}+a_{n-2}=0

n\geq 1

a_{n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{2^{2^{n}}n!(1+\nu )(2+\nu )\ cdots (n+\nu )}}.

Délka strany při zdvojnásobení počtu stran vepsaného pravidelného n - úhelníku : $a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-2R{\sqrt {R^{2}-{\frac {a_{n}^{2}}{4}}}}}} ,\qquad n\geq 2,$

kde je poloměr kružnice opsané .

R

Lineární rekurentní rovnice

Lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty má tvar:

f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=\varphi (n).

Zde jsou nezáporná celá čísla, je posloupnost čísel, jsou konstantní čísla, , je daná funkce . $n$ $f_{{n}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$ $\varphi (n)$ $n$

Homogenní lineární rekurentní rovnice

Předpokládejme, že posloupnost čísel splňuje homogenní lineární rekurentní rovnici , kde jsou nezáporná celá čísla, jsou dána konstantní čísla a . $f_{0},f_{1},\dots$ $f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=0$ $n$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$

Označme generující funkcí posloupnosti . Pojďme sestavit polynom . Tento polynom může být viděn jako posloupnost generující funkce . Zvažte součin generování funkcí . Koeficient at a je určen vztahem a je roven nule. To znamená, že polynom má stupeň nejvýše , takže stupeň čitatele racionální funkce je menší než stupeň jmenovatele. $F(z)$ $f_{0},f_{1},\dots$ ${\displaystyle K(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{r}z^{r))$ $1,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r},0,0,\dots$ $C(z)=F(z)K(z)$ $c_{{n+r}}$ $z^{{n+r}}$ $n\geq 0$ $c_{n+r}=f_{0}0+\ldots +f_{n-1}0+f_{n}a_{r}+\ldots +f_{n+r}1=f_{n +r}+a_{1}f_{n+r-1}+\ldots +a_{r}f_{n}$ $C(z)$ $r-1$ $F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}$

Charakteristický polynom lineární rekurentní rovnice se nazývá polynom . Kořeny tohoto polynomu se nazývají charakteristické. Charakteristický polynom může být reprezentován jako , kde jsou různé charakteristické kořeny, jsou násobky charakteristických kořenů, . ${\displaystyle g(z)=z^{r}+a_{1}z^{r-1}+\ldots +a_{r))$ $g(z)=(z-\alpha _{1})^{e_{1}}(z-\alpha _{2})^{e_{2}}\cdots (z-\alpha _ {s})^{e_{s}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s))$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s))$ $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{s}=r$

Charakteristický polynom a polynom spolu souvisí vztahem . Takto, $g(z)$ $K(z)$ $K(z)=z^{r}g\left({\frac {1}{z}}\right)$

K(z)=(1-\alpha _{1}z)^{e_{1}}(1-\alpha _{2}z)^{e_{2}}\cdots (1-\ alfa _{s}z)^{e_{s}}.

Racionální funkce může být reprezentována jako součet zlomků:

F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}=\součet _{i=1}^{s}\součet _{k=1}^{e_{i }}{\frac {\beta _{ik}}{(1-\alpha _{i}z)^{k}}}.

Každý zlomek v tomto výrazu má tvar , takže jej lze rozšířit na mocninnou řadu následujícího tvaru $\beta (1-\alpha z)^{{-k}}$

\beta (1-\alpha z)^{-k}=\beta \left[1+(-k)(-\alpha z)+\ldots +{\frac {(-k)\cdots ( -k-n+1)}{n!}}(-\alpha z)^{n}+\ldots \right]

Koeficient pro v této řadě je roven $z^{n}$

{\frac {\beta (n+k-1)\cdots k}{n!)}}\alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{n}}\ alfa ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{k-1}}\alpha ^{n}.

Proto je generující funkce a obecným řešením lineární rekurentní rovnice, kde je polynom ve stupni nejvýše . $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{s}p_{i}(n)\alpha _{i}^ {n}\right)z^{n}$ $f_{{n}}=\součet _{{i=1}}^{{s}}p_{{i}}(n)\alpha _{{i}}^{{n}}$ $kolík)$ $n$ $e_{{i}}-1$

Příklad

Nechť je požadováno najít řešení rovnice s okrajovými podmínkami a . $f_{{n+2}}-f_{{n+1}}+f_{{n}}=0$ $f_{{0}}=1$ $f_{{1}}=1$

Tato rovnice má charakteristický polynom , kde , . Obecné řešení má tvar . Nahrazením dostaneme , . Dostáváme hodnoty , . Tedy . $z^{2}-z+1=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ $\alpha _{{1}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{i{\frac {\pi } {3}}}}$ $\alpha _{{2}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{-i{\frac {\pi {3}}}}$ $f_{{n}}=c_{{1}}\alpha _{{1}}^{{n}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}^{{n}}=c_ {{1}}e^{{{\frac {i\pi n}{3}}}}+c_{{2}}e^{({\frac {-i\pi n}{3}}} }$ $n = 0,1$ $c_{{1}}+c_{{2}}=1$ $c_{{1}}\alpha _{{1}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}=1$ $c_{{1}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $c_{{2}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $f_{n}=\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left ({\frac {\pi n}{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)+\left({\frac {1 }{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right) -i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)$

Aplikace

Existuje vzorec, který vyjadřuje obecný člen lineární rekurentní posloupnosti z hlediska kořenů jejího charakteristického polynomu. Například pro Fibonacciho sekvenci je takovým vzorcem Binetův vzorec . Rekurzivní vzorce se používají k popisu doby běhu algoritmu, který rekurzivně volá sám sebe. V takovém vzorci je čas potřebný k vyřešení úlohy se vstupním objemem vyjádřen časem na řešení pomocných dílčích úloh. [jeden] $n$

Viz také

Lineární rekurentní sekvence
rekurzivní funkce
rekurze
Hlavní věta o rekurzivních relacích (zjednodušené řešení některých typů rekurzivních relací, které vznikají při analýze složitosti rekurzivních algoritmů)

Poznámky

↑ T. Kormen, C. Leizerson, R. Rivest, K. Stein. Algoritmy. Konstrukce a analýza = Introduction To Algorithms / I. Krasikov. - Nakladatelství "Williams", 2005. - S. 79. - 1296 s.

Literatura

Fujisawa T., Kasami T. Matematika pro radiotechniky: teorie diskrétních struktur. - M. , nakladatelství = Rozhlas a komunikace, 1984. - 240 s.