Polachkovy polynomy

Polynomy Polachek jsou posloupností polynomů , které uvažoval Polachek v roce 1950. $P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\ }$

Rekurzivní definice

$P_{-1}^{\lambda }=0$

$P_{0}^{\lambda }=1$

$nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+ (n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$

Vlastnosti

Symetrické Polachek polynomy jsou ortogonální na celé reálné ose s váhou: $\left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\right)$

{\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^ {2}

, kde je Eulerova gama funkce

\Gamma

Analog Rodriguesových vzorců pro Polachkovy polynomy:

P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!)}}\delta ^ { n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\right)

, kde je meromorfní funkce a je operátor konečné diference

{\displaystyle G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)))e^{\pi x))

\delta

(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)

Literatura

V. N. Sorokin. Zobecněné Polachkovy polynomy // Math. So - 2009. - T. 200 , č. 4 . - S. 113-130 . (Ruština)

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy