Polylogaritmus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. prosince 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Polylogaritmus je speciální funkce označovaná a definovaná jako nekonečná mocninná řada $\operatorname {Li}_{s}(z)$

\operatorname {Li}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},

kde s a z jsou komplexní čísla a . Pro ostatní z se provede zobecnění pomocí analytického pokračování . $|z|<1$

Výšková mapa polylogu v komplexní rovině
$\operatorname {Li}_{{-3}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{-2}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{-1}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{0}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{1}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{2}}(z)$
$\operatorname {Li}_{{3}}(z)$

Zvláštní případ je , když . Funkce a se nazývají dilogaritmus a trilogaritmus . Pro polylogaritmy různých řádů vztah $s=1$ $\operatorname {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)$ $\operatorname {Li}_{{2}}(z)$ $\operatorname {Li}_{{3}}(z)$

\operatorname {Li}_{{s+1}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li}_{s}(t)}{t}}\, {\mathrm {d}}t.

Alternativní definice polylogaritmu jsou Fermi-Diracovy a Bose-Einsteinovy integrály .

Soukromé hodnoty

\operatorname {Li}_{1}({\tfrac 12})=\ln 2

\operatorname {Li}_{2}({\tfrac 12})={\tfrac 1{12}}\pi ^{2}-{\tfrac 12}(\ln 2)^{2}

\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2)))={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,

(kde je konstanta Aperi )

\,\zeta (3)\,

\operatorname {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)

\operatorname {Li}_{{0}}(z)={z \over 1-z}

\operatorname {Li}_{{-1}}(z)={z \over (1-z)^{2}}

\operatorname {Li}_{{-2}}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}

\operatorname {Li}_{{-3}}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}

\operatorname {Li}_{{-4}}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\, .

Literatura

Abel, NH Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (fr.) / Sylow, L.; Lie, S.. - Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn, 1881. - S. 189-193. (Tento rukopis z roku 1826 byl publikován až posmrtně.)
Abramowitz, M.; Stegun, IA Příručka matematických funkcíse vzorci, grafy a matematickými tabulkami . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .
Bailey, D.H.; Borwein, PB; Plouffe, S. O rychlém počítání různých polylogaritmických konstant // Matematika počítání : deník. - 1997. - Duben ( roč. 66 , č. 218 ). - S. 903-913 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
Bailey, DH & Broadhurst, DJ (20. června 1999), A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder, archiv : math.CA/9906134 [math.CA].
Berndt, B. C. Ramanujanovy sešity, část IV (neopr.) . - New York: Springer-Verlag , 1994. - S. 323-326. - ISBN 0-387-94109-6 .
Boersma, J.; Dempsey, JP O vyhodnocení Legendreovy chi-funkce // Matematika počítání : deník. - 1992. - Sv. 59 , č. 199 . - S. 157-163 . - doi : 10.2307/2152987 . — .
Borwein, JM; Bradley, D.M.; Broadhurst, DJ; Lisonek, P. Speciální hodnoty vícenásobných polylogaritmů // Transactions of the American Mathematical Society . - 2001. - Sv. 353 , č.p. 3 . - S. 907-941 . - doi : 10.1090/S0002-9947-00-02616-7 .
Clunie, J. O funkcích Bose-Einstein // Proceedings of the Physical Society, sekce A : deník. - 1954. - Sv. 67 , č. 7 . - S. 632-636 . - doi : 10.1088/0370-1298/67/7/308 .
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder (neopr.) // Experimental Mathematics. - 1992. - T. 1 , č. 1 . - S. 25-34 . Archivováno z originálu 1. března 2012.
Coxeter, HSMFunkce Schläfliho a Lobatschefského (neopr.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). - 1935. - V. 6 , č. 1 . - S. 13-29 . - doi : 10.1093/qmath/os-6.1.13 .
Cvijovic, D.; Klinowski, J. Rozšíření pokračujících zlomků pro Riemannovu zeta funkci a polylogaritmy // Proceedings of the American Mathematical Society : journal . - 1997. - Sv. 125 , č. 9 . - S. 2543-2550 . - doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
Cvijovic, D. Nové integrální reprezentace funkce polylogaritmu (anglicky) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A : journal. - 2007. - Sv. 463 , č.p. 2080 . - S. 897-905 . - doi : 10.1098/rspa.2006.1794 .
Erdelyi, A .; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, FG Vyšší transcendentální funkce, sv. 1 (neopr.) . — New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, KS Komplexní nuly Jonquiérovy nebo polylogaritmické funkce // Matematika počítání : deník. - 1975. - Sv. 29 , č. 130 . - str. 582-599 . - doi : 10.2307/2005579 . — .
Vědecká knihovna GNU. Referenční příručka (2010). Získáno 13. června 2010. Archivováno z originálu 14. května 2012. (neurčitý)
Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I.M. Tabulky integrálů , sérií a produktů . — 4. - New York: Academic Press , 1980. - ISBN 0-12-294760-6 .
Guillera, J.; Sondow, J. Dvojné integrály a nekonečné součiny pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentna // The Ramanujan Journal : deník. - 2008. - Sv. 16 , č. 3 . - str. 247-270 . - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . - arXiv : math.NT/0506319 .
Hain, RM (25. března 1992), Klasické polylogaritmy, arΧiv : alg-geom/9202022 [alg-geom].
Jahnke, E.; Emde, F. Tabulky funkcí se vzorci a křivkami . — 4. — New York: Dover Publications , 1945.
Jonquière, A. Note sur la série $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}$ (francouzsky) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1889. - T. 17 . - S. 142-152 .
Kolbig, KS; Mignaco, JA; Remiddi, E. O Nielsenových zobecněných polylogaritmech a jejich numerickém výpočtu // BIT : journal. - 1970. - Sv. 10 . - str. 38-74 . - doi : 10.1007/BF01940890 .
Kirillov, AN Dilogarithm identity // Progress of Theoretical Physics Supplement : deník. - 1995. - Sv. 118 . - str. 61-142 . - doi : 10.1143/PTPS.118.61 . - arXiv : hep-th/9408113 .
Lewin, L. Dilogaritmy a přidružené funkce (neurčité) . — Londýn: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polylogaritmy a přidružené funkce (neurčité) . - New York: North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-00550-1 .
Lewin, L. (ed.). Strukturní vlastnosti polylogaritmů (neopr.) . — Providence, R.I.: Amer. Matematika. Soc., 1991. - V. 37. - (Matematické přehledy a monografie). — ISBN 0-8218-1634-9 .
Markman, B. Riemannova funkce Zeta (neurčitá) // BIT. - 1965. - T. 5 . - S. 138-141 .
Maximon, LC The Dilogarithm Function for Complex Argument (neopr.) // Proceedings of the Royal Society (Londýn), řada A. - 2003. - V. 459 , č. 2039 . - S. 2807-2819 . - doi : 10.1098/rspa.2003.1156 .
McDougall, J.; Stoner, E. C. Výpočet Fermi-Diracových funkcí (neopr.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (Londýn), řada A. - 1938. - V. 237 , č. 773 . - S. 67-104 . doi : 10.1098 / rsta.1938.0004 .
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (německy) // Nova Acta Leopoldina. - Halle - Lipsko, Německo: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. - T. XC , č. 3 . - S. 121-212 .
Prudnikov, A. P.; Marichev, OI; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, sv. 3 : Další speciální funkce . - Newark, NJ: Gordon and Breach , 1990. - ISBN 2-88124-682-6 . (viz § 1.2 – „Zobecněná zeta funkce, Bernoulliho polynomy, Eulerovy polynomy a polylogaritmy“, str. 23.)
Robinson, JE Poznámka k Bose-Einsteinovým integrálním funkcím (neopr.) // Physical Review, Series 2. - 1951. - V. 83 , No. 3 . - S. 678-679 . - doi : 10.1103/PhysRev.83.678 .
Rogers, LJ O funkčních součtových teorémech spojených s řadou // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. - 1907. - Sv. 4 , ne. 1 . - S. 169-189 . - doi : 10.1112/plms/s2-4.1.169 . $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}$
Erwin Schrödinger . Statistická termodynamika (neopr.) . — 2. - Cambridge, Spojené království: Cambridge University Press , 1952.
Truesdell, C. O funkci, která se vyskytuje v teorii struktury polymerů // Annals of Mathematics, Series 2: journal. - 1945. - Sv. 46 , č. 1 . - S. 144-157 . - doi : 10.2307/1969153 . — .
Vepstas, L. (únor 2007), Efektivní algoritmus pro urychlení konvergence oscilačních řad, užitečný pro výpočet polylogaritmu a Hurwitz zeta funkcí, arΧiv : math.CA/0702243 [math.CA].
Whittaker, E.T .; Watson, GN Kurz moderní analýzy (neurčitý) . — 4. - Cambridge, Spojené království: Cambridge University Press , 1952.
Wood, DC Výpočet polylogaritmů. Technická zpráva 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (červen 1992). Získáno 1. listopadu 2005. Archivováno z originálu 14. května 2012. (neurčitý)
Zagier, D. (1989). „Dilogaritmická funkce v geometrii a teorii čísel“. Teorie čísel a příbuzná témata: příspěvky prezentované na Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 . Studium matematiky. 12 . Bombaj: Tata Institute of Fundamental Research a Oxford University Press. str. 231-249. ISBN 0-19-562367-3 .(také se objevil jako "pozoruhodný dilogaritmus" v Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), str. 131-145 a jako kapitola I ( Zagier 2007 ).)
Zagier, D. Hranice v teorii čísel, fyzice a geometrii II - o konformních teoriích pole, diskrétních grupách a renormalizaci / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - S. 3-65. — ISBN 978-3-540-30307-7 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Polylogarithm (англ.) na Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Dilogarithm (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .