Casus ireducibilis

Casus ireducibilis ( latinsky „neredukovatelný případ “) je případ, který může nastat při řešení kubické rovnice s celočíselnými koeficienty, kdy jsou kořeny vyjádřeny radikály . Totiž, pokud je kubický polynom neredukovatelný nad racionálními čísly a má tři reálné kořeny, pak k vyjádření kořenů pomocí radikálů je třeba zavést komplexní výrazy, i když výsledné hodnoty výrazů jsou reálné. To dokázal Pierre Wantzel v roce 1843 [1] .

Diskriminant Cardanova vzorce

Je možné určit, zda daný kubický polynom spadá pod případ casus ireducibilis pomocí diskriminantu D z Cardanova vzorce [2] [3] . Nechť je kubická rovnice dána jako

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Diskriminant D , vznikající v algebraickém řešení, je dán vzorcem

D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Jestliže , pak má polynom dva komplexní kořeny, takže tento případ nespadá pod casus ireducibilis . $D<0$
Jestliže , pak existují tři reálné kořeny, dva z nich jsou si rovny a lze je nalézt pomocí Euklidova algoritmu a vzorce pro kvadratickou rovnici . Všechny kořeny jsou skutečné a jsou vyjádřeny skutečnými radikály. Polynom není neredukovatelný. $D=0$
Jestliže , pak existují tři odlišné kořeny. Buď existuje racionální kořen, který lze nalézt pomocí věty o racionálních kořenech , v tomto případě lze kubický polynom rozložit na lineární a kvadratické polynomy, kořeny druhého lze najít pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice . Nebo neexistuje žádný takový rozklad, takže polynom spadá pod casus ireducibilis – všechny kořeny jsou reálné, ale k vyjádření kořenů v radikálech jsou zapotřebí komplexní čísla. $D>0$

Formální prohlášení a důkaz

Obecněji předpokládejme, že F je formální reálné pole a p ( x ) ∈ F [ x ] je kubický polynom, který je ireducibilní přes F , ale má tři reálné kořeny (kořeny v reálném uzávěru F ). Casus ireducibilis pak říká, že je nemožné najít nějaké řešení rovnice p ( x ) = 0 v reálných radikálech.

Abychom to dokázali [4] , poznamenejme, že diskriminant D je kladný. Tvoříme rozšíření pole . Protože to bude buď F nebo kvadratické rozšíření pole F (v závislosti na tom, zda D je čtverec v poli F ), zůstává v něm neredukovatelné. Proto je Galoisova skupina nad cyklickou skupinou . Předpokládejme, že rovnici lze vyřešit v reálných radikálech. Pak se můžeme rozdělit do věže cyklických rozšíření $F({\sqrt {D)))$ $p(x)$ $p(x)$ $F({\sqrt {D)))$ $C_{3}$ $p(x)=0$ $p(x)$

F\subset F({\sqrt {D)))\subset F({\sqrt {D)),{\sqrt[{p_{1))]{\alpha _{1))})\ podmnožina \cdots \podmnožina K\podmnožina K({\sqrt[{3}]{\alpha )))

Na konečné úrovni věže je neredukovatelný v předposledním poli K , ale rozložitelný v K ( 3 √ α ) pro nějaké α . Ale toto je rozšíření cyklického pole, a proto musí obsahovat primitivní kořen jednoty . $p(x)$

V reálně uzavřeném poli však neexistuje žádný primitivní třetí kořen jednoty. Ve skutečnosti předpokládejme, že ω je primitivní třetí kořen jednoty. Pak, podle axiomů definujících uspořádané pole , ω, ω 2 a 1 jsou všechny kladné. Pokud však ω 2 >ω, kvadratura dá 1>1, což je rozpor. Rozpor dostaneme také v případě ω>ω 2 .

Řešení v nereálných radikálech

Cardanoovo rozhodnutí

Rovnici lze redukovat na redukovaný trinom vydělením a dosazením ( Tschirnhausova transformace ), čímž vznikne rovnice , kde $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $A$ $x=t-{\tfrac {b}{3a))$ $t^{3}+pt+q=0$

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Pak, bez ohledu na počet skutečných kořenů, jsou podle Cardanoovy metody dány rovnicí tři kořeny

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{ 3} \přes 27}}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \přes 2}-{\sqrt {{q^{2} \ více než 4}+{p^{3} \přes 27}}}}}

kde ( k = 1, 2, 3) je třetí odmocnina z 1 ( , , a , kde i je imaginární jednotka ). Pokud radikálové výrazy pod krychlovou odmocninou nejsou skutečné, krychlové odmocniny jsou vyjádřeny radikály, které jsou definovány dvojicí komplexně sdružených krychlových odmocnin , zatímco pokud jsou reálné, jsou tyto krychlové odmocniny definovány skutečnými krychlovými odmocninami. ${\displaystyle \omega _{k))$ $\omega _{1}=1$ $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

Casus ireducibilis nastává, když žádný z kořenů není racionální a když jsou všechny tři kořeny odlišné a skutečné. Případ, kdy jsou všechny tři skutečné kořeny různé, nastává tehdy a jen tehdy, když . V tomto případě Cardanova rovnice nejprve vezme druhou odmocninu záporného čísla, které dává imaginární číslo, a poté třetí odmocninu komplexního čísla (tuto odmocninu nelze získat explicitně v reálných odmocninách pro α a β , protože pokus vyjádřit tímto způsobem vyžaduje řešení původní kubické rovnice). Všimněte si, že i v redukovatelném případě, ve kterém je jeden ze tří kořenů racionální, a proto lze polynom rozšířit dělením polynomů sloupcem , Cardanova formule (v tomto případě volitelně) vyjadřuje tento kořen (a další) v termínech nereálné radikály. ${\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}<0$ $\alpha +\beta i$

Příklad

Redukovaná kubická rovnice

x^{3}-3x+1=0

neredukovatelný, protože pokud by mohl být faktorizován, existoval by lineární faktor poskytující racionální řešení, zatímco podle věty o racionálních kořenech žádný racionální kořen neexistuje. Protože diskriminant polynomu je kladný, rovnice má tři reálné kořeny, takže toto je příklad casus ireducibilis . Cardanoův vzorec dává těmto třem skutečným kořenům

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}+{\sqrt {-3 \over 4))))+\omega _{k }^{2}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}-{\sqrt {-3 \over 4))))

pro k = 1, 2, 3. Toto radikální řešení používá imaginární číslo , a tedy odmocniny konjugovaných komplexních čísel . ${\sqrt {-3 \over 4}}$

Nealgebraické řešení z hlediska reálných veličin

Zatímco případ casus irreducibilis nelze řešit v radikálech z hlediska reálných hodnot, řešení lze nalézt trigonometricky [5] . Konkrétně redukovaná kubická rovnice má řešení $t^{3}+pt+q=0$

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3))))\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac { 3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad

pro

\quad k=0,1,2\,.

Tato řešení jsou vyjádřena reálnými čísly tehdy a jen tehdy, když – tedy tehdy a jen tehdy, když existují tři reálné kořeny. Podle vzorce se nejprve vypočítá určitý úhel, pak se tento úhel vydělí třemi a následně se vypočítá kosinus výsledného úhlu a nakonec se vynásobí normalizačním faktorem. ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

Spojení s trisekcí úhlu

Rozdíl mezi redukovatelnými a neredukovatelnými případy se třemi reálnými kořeny souvisí s možností či nemožností rozdělit úhel s racionálním sinem nebo kosinusem na tři stejné části pomocí klasické konstrukce kružítka a pravítka . Pokud je známo, že kosinus úhlu θ má určitou racionální hodnotu, pak třetina tohoto úhlu má kosinus, což je jeden ze tří kořenů rovnice

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

Podobně, pokud je známo, že sinus úhlu θ má určitou racionální hodnotu, pak třetina tohoto úhlu má sinus, což je jeden ze tří kořenů rovnice.

-4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.

V obou případech, pokud lze racionální kořen rovnice získat z věty o racionálních kořenech, x nebo y mínus tento kořen lze extrahovat z polynomu na levé straně rovnice, čímž vznikne kvadratická rovnice, kterou lze vyřešit a získat zbývající dva kořeny. Pak všechny tyto kořeny získáme klasickou konstrukcí, protože je lze vyjádřit pomocí odmocnin, takže nebo jsou sestavitelné, a pak je sestavitelný i odpovídající úhel . Na druhou stranu, pokud věta o racionálních kořenech ukazuje, že neexistují žádné racionální kořeny, pak dostaneme casus ireducibilis , nebo je nelze sestrojit, úhel nelze sestrojit a není možné získat trisekci úhlu θ klasickými metodami. . $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3))$ $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3))$

Generalizace

Casus ireducibilis lze zobecnit na vyšší mocniny polynomů následovně. Nechť p ∈ F [ x ] je ireducibilní polynom, který se rozkládá ve formálním reálném rozšíření R pole F (tj. p má pouze reálné kořeny). Předpokládejme , že p má kořen v , což je rozšíření F o radikály. Pak je mocnina p mocnina 2 a jeho dělicí pole je iterované čtvercové rozšíření pole F [6] [7] . $K\subseteq R$

Pak pro jakýkoli neredukovatelný polynom, jehož stupeň není mocninou 2 a jehož kořeny jsou všechny skutečné, nelze kořeny vyjádřit čistě v termínech skutečných radikálů. Navíc, pokud je stupeň polynomu stupeň 2 a všechny kořeny jsou reálné, pak pokud existuje kořen, který lze vyjádřit v reálných radikálech, lze jej vyjádřit pomocí odmocnin a žádné odmocniny většího stupně, což platí pro jiné kořeny. Takže kořeny takového polynomu jsou klasicky konstruovatelné .

Casus ireducibilis pro funkci pátého stupně je diskutován v Dummitově článku [8]

Poznámky

↑ Wantzel, 1843 , str. 117–127.
↑ Cox, 2012 , str. 15, Věta 1.3.1.
↑ Badiru, Omitaomu, 1952 , pp. 2-22.
↑ van der Waerden, 1949 , s. 180.
↑ Cox, 2012 , str. 18–19 Sekce 1.3B Trigonometrické řešení kubiky.
↑ Cox, 2012 , str. 222 Věta 8.6.5.
↑ Isaacs, 1985 , str. 571–572.
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics Archived 7. března 2012 na Wayback Machine , strana 17

Literatura

Pierre Wantzel. Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique (francouzsky) // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1843. - Sv. 2 . — S. 117–127 .
BL van der Waerden. Moderní algebra . — Frederick Ungar Publ. Co., 1949. - S. 180 .
- B.L. van der Waerden. Algebra. - M .: "Mir", 1976.
David A. Cox. Sekce 1.3B Trigonometrické řešení kubické // Galoisovy teorie. - Wiley-Interscience, 2012. - (Čistá a aplikovaná matematika). - ISBN 0-471-43419-1 .
Adedeji B. Badiru, Olufemi A. Omitaomu. Příručka průmyslového inženýrství Rovnice, vzorce a výpočty / Adedeji B. Badiru. - CRC Press, 1952. - (Série průmyslových inovací). — ISBN 978-1-4200-7627-1 .
David A. Cox. Galoisova teorie. — 2. - John Wiley & Sons, 2012. - (Čistá a aplikovaná matematika). — ISBN 978-1-118-07205-9 . - doi : 10.1002/9781118218457 . . Viz zejména část 1.3 Kubické rovnice nad reálnými čísly (str. 15–22) a část 8.6 Casus Irreducibilis (str. 220–227).
Bartel Leendert van der Waerden . Moderní algebra I. - Springer, 2003. - ISBN 978-0-387-40624-4 .
I. M. Isaacs. Řešení polynomů reálnými radikály // American Mathematical Monthly . - 1985. - říjen ( díl 92 , číslo 8 ).

Odkazy

casus ireducibilis (anglicky) na webu PlanetMath .