Leibnizův vzorec pro determinanty

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. prosince 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Leibnizův vzorec je výraz pro determinant matice čtvercové velikosti ve smyslu permutací jejích prvků: $A=(a_{i,j})$ $n\krát n$

\det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\jméno operátora {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau ( i)}=\součet _{\sigma \in S_{n}}\jméno operátora {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},

kde je funkce permutačního znaménka v permutační skupině , která vrací +1 nebo −1 pro sudé a liché permutace. $\operatorname{sgn}$ $S_{n}$

Použití symbolu Levi-Civita a Einsteinových sčítacích konvencí :

\det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}

Pojmenován na počest Gottfrieda Leibnize , který v roce 1678 představil koncept determinantu a jak jej vypočítat .

Jedinou multilineární funkcí se střídáním znamének , která se na matici identity změní na jednotu, je funkce definovaná Leibnizovým vzorcem [1] ; takže determinant může být jednoznačně definován jako střídající se multilineární funkce , multilineární s ohledem na sloupce, mizející do jednoty na matici identity.

Výpočetní složitost

Přímý výpočet podle Leibnizova vzorce obecně vyžaduje operace, to znamená, že počet operací je asymptoticky úměrný faktoriálu (počtu uspořádaných permutací prvků). Pro velký lze determinant vypočítat v operacích generováním rozkladu LU (obvykle získaného pomocí Gaussových nebo podobných metod), v tomto případě , a determinanty trojúhelníkových matic a jsou rovny součinům diagonálních prvků matic. (V praktických aplikacích výpočetní lineární algebry se však explicitní výpočet determinantu používá jen zřídka [2] ). $\Omega (n!\cdot n)$ $n$ $n$ $n$ $O(n^{3})$ $A = LU$ $\det A=(\det L)(\det U)$ $L$ $U$

Viz také

Literatura

Determinant - článek z Encyklopedie matematiky . D. I. Supruněnko
Lloyd N. Trefethen, David Bau. Numerická lineární algebra. - SIAM , 1997. - ISBN 978-0898713619 .
Serge Lang. Lineární algebra. - Springer-Verlag, 2004. - (Pregraduální texty z matematiky). — ISBN 0-387-96412-6 .

↑ Lang, 2004 , str. 148 Věta 2.3.
↑ Trefethen & Bau, 1997 .