Mřížka E8

Mříž E 8 nebo Korkin-Zolotarevova mřížka je kořenovou mřížkou skupiny E 8 . Implementuje v dimenzi 8:

Maximální možné kontaktní číslo ;
Nejhustší balení kuliček .

Obvykle se označuje stejně jako skupina E 8 . $E_8$

Historie

Existenci této mřížky dokázal v roce 1867 [ 1První explicitní konstrukci dali Korkin a Zolotarev v roce 1873 [2] .

Popis

Mříž E 8 může být implementována jako diskrétní podskupina vektorů s následující sadou vlastností: ${\mathbb {R}}^{8}$

všechny souřadnice libovolného bodu jsou buď celá čísla , nebo poloviční celá čísla (tj. celé číslo a půl);
součet všech osmi souřadnic je sudé celé číslo .

Jinými slovy,

E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2)))^ {8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

Je snadné zkontrolovat, že součet a rozdíl libovolných dvou vektorů z E 8 jsou obsaženy v E 8 , proto E 8 je podgrupou . ${\mathbb {R}}^{8}$

Mříž E 8 může být také realizována jako množina všech bodů v E' 8 tak, že ${\mathbb {R}}^{8}$

všechny souřadnice jsou celá čísla se sudým součtem, popř
všechny souřadnice jsou poloviční celá čísla s lichým součtem.

Jinými slovy

E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}) ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\ekv 2x_{1}\ekv 2x_{2}\ekv 2x_{3}\ekv 2x_{4}\ekv 2x_{5 }\ekviv 2x_{6}\ekviv 2x_{7}\ekviv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

nebo

E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:({\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\ equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.

Mřížky E 8 a E' 8 jsou izomorfní , jednu lze získat z druhé změnou znaménka jedné ze souřadnic.

Vlastnosti

Charakterizace

Mřížku E 8 lze charakterizovat jako jedinou mřížku , která splňuje následující vlastnosti: ${\mathbb {R}}^{8}$

Jedná se o unimodulární mříž , tzn
- její základ lze použít k vytvoření matice s determinantem ±1. $8\times 8$
- Jinými slovy, objem základní oblasti této mřížky je 1.
- Ekvivalentně, E 8 je self-duální , to je, to je stejné jako jeho reciproká mřížka .
Tato mřížka je sudá, to znamená, že norma kteréhokoli z jejích vektorů je sudé celé číslo.

I unimodulární mřížky existují pouze v dimenzích dělitelných 8. V dimenzi 16 jsou takové mřížky dvě: E 8 ⊕ E 8 a D 16 + (ten je konstruován podobně jako E 8 v dimenzi 16). V dimenzi 24 je 24 takových mřížek, z nichž nejdůležitější je mřížka Leach .

Základ

Jedna z možných bází pro E 8 je dána sloupci následující horní trojúhelníkové matice

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&-2&0\0&0&1/0&0&0\0\0&1/0 \\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].

To znamená, že E 8 se skládá ze všech celočíselných lineárních kombinací sloupců. Všechny ostatní báze se získají z násobení jednou zprava maticí z GL(8, Z ).

Minimální sazba

Nejkratší nenulový vektor E 8 má normu 2, mřížka obsahuje celkem 240 takových vektorů. Tyto vektory tvoří kořenový systém skupiny E 8 . To znamená, že mřížka E8 je kořenová mřížka E8 . Jakákoli volba 8 jednoduchých kořenů dává základ E 8 .

Základní oblast

Oblasti Voronoiovy mřížky E 8 jsou 5 21 buněk .

Skupina symetrie

Grupa symetrie mřížky v R n je definována jako podgrupa ortogonální grupy O( n ), která zachovává mřížku. Skupina symetrie mřížky E 8 generovaná odrazy v nadrovinách ortogonálních ke kořenům mřížky 240. Jeho pořadí je

|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.

Tato skupina obsahuje podskupinu řádu 128 8!, skládající se ze všech permutací souřadnic a sudého počtu změn znaménka. Plná grupa symetrie je generována touto podgrupou a blokově diagonální maticí H 4 ⊕ H 4 kde H 4 je Hadamardova matice

H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\ \\end{smallmatrix}}\right].

Balení balónu

Problém balení kuliček se ptá, jak balit koule s pevným poloměrem co nejhustěji v prostoru bez přesahů. V R 8 dává umístění kuliček o poloměru v bodech mřížky E 8 balení o maximální hustotě rovné $1/\sqrt{2}$

{\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0,25367.

Skutečnost, že tato hustota je maximální pro mřížkové výplně, je známá již dlouhou dobu [3] . Navíc bylo známo, že taková mřížka je jedinečná až do podobnosti [4] . Marina Vyazovskaya nedávno dokázala, že toto těsnění je optimální i mezi všemi obaly [5] [6] .

Řešení problému balení kuliček je známé pouze v rozměrech 1, 2, 3, 8 a 24. Skutečnost, že jsou známá řešení v rozměrech 8 a 24, je způsobena speciálními vlastnostmi mřížky E 8 a její 24rozměrné analog Leechovy mřížky .

Kontaktní číslo

Problém kontaktního čísla se ptá, jaký je maximální počet kuliček s pevným poloměrem, které se mohou dotknout centrální koule se stejným poloměrem. V dimenzi 8 je odpověď 240; takovou konfiguraci lze získat umístěním kuliček do bodů mřížky E 8 s minimální normou. To bylo prokázáno v roce 1979 [7] [8] .

Řešení problému s kontaktním číslem je známo pouze v rozměrech 1, 2, 3, 4, 8 a 24. Skutečnost, že řešení jsou známa v rozměrech 8 a 24, souvisí také se speciálními vlastnostmi mřížky E 8 a její 24rozměrný analog Leachovy mřížky .

Funkce Theta

Theta funkce mřížky Λ je definována jako součet

\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau>0.

Je to holomorfní funkce na horní polorovině. Navíc funkce theta sudé unimodulární mřížky úrovně n je modulární forma hmotnosti n /2.

Až do normalizace existuje pouze jedna modulární forma závaží 4: Eisensteinova řada G 4 (τ). To znamená, že funkce theta mřížky E 8 musí být úměrná G 4 (τ). To dává

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}

kde σ 3 ( n ) je funkcí dělitelů a . $q=e^{i\pi \tau }$

Z toho vyplývá, že počet vektorů normy 2 n v mřížce E 8 je roven (součet krychlí dělitelů n ). Toto je sekvence A004009 v OEIS : $240\cdot$

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q ^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).

Funkci theta mřížky E 8 lze zapsat pomocí funkcí Jacobi theta takto:

\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3} (q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)

kde

\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2)))^{2}}\ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _ {n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.

Hammingův kód

Hammingův kód H (8,4) je binární kód délky 8 a úrovně 4; to znamená, že je to 4-rozměrný podprostor vektorového prostoru konečného ( F 2 ) 8 . Zápis prvků ( F 2 ) 8 jako 8bitových celých čísel do hexadecimálního kódu H (8,4) lze explicitně zapsat jako

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Kód H (8,4) je samoduální kód typu II. Má minimální Hammingovu váhu 4; to znamená, že jakákoli dvě kódová slova se liší alespoň o 4 bity. Pro binární kódy 4. řady délky 8 je to maximum.

Vzhledem k binárnímu kódu C délky n lze sestrojit mřížku Λ tím, že vezmeme množinu všech vektorů tak, že se shoduje (modulo 2) s kódovými slovy z C; často je vhodné škálovat Λ faktorem 1/ √2, $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ $X$

\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\ v C\vpravo\}.

Použití této konstrukce na samoduální kód typu II poskytuje rovnoměrnou unimodulární mřížku. Konkrétně pro Hammingův kód H(8,4) dostaneme mřížku E 8 .

Problém nalezení explicitního izomorfismu mezi výslednou mřížkou a mřížkou E 8 definovanou výše není zcela triviální.

Celočíselné osmičky

Mřížka E 8 se používá v definici celočíselných oktonionů podobným způsobem jako celočíselné čtveřice .

Celočíselné oktoniony přirozeně tvoří mřížku v O . Tato mřížka je podobná mřížce E 8 s koeficientem . (Minimální norma v celočíselných oktonionech je 1, nikoli 2). $1/\sqrt{2}$

Celočíselné oktoniony tvoří neasociativní kruh.

Aplikace

V roce 1982 Friedman zkonstruoval topologickou čtyřvarietnu , nazvanou E 8 - varieta , jejíž průsečík je dán mřížkou E 8 . Tato varieta je příkladem topologické variety, která nepřipouští hladkou strukturu a není ani triangulovaná.
V teorii strun je heterotická struna jakýmsi hybridem 26-rozměrných bosonických strun a 10-rozměrných superstrun . Aby teorie fungovala správně, musí být 16 nadbytečných dimenzí zhutněno sudou unimodulární mřížkou řady 16. Existují dvě takové mřížky: E 8 ⊕E 8 a D 16 + (konstruované podobně jako E 8 ). To vede ke dvěma verzím heterotických řetězců známých jako E 8 × E 8 a SO (32).

Viz také

Poznámky

↑ Smith, HJS O řádech a rodech kvadratických forem obsahujících více než tři neurčité // Proceedings of the Royal Society : journal . - 1867. - Sv. 16 . - S. 197-208 . - doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
↑ Korkine, A.; Zolotareff, G. Sur les tvoří kvadratické pozitivy (francouzsky) // Mathematische Annalen . - 1877. - Sv. 6 . - str. 366-389 . - doi : 10.1007/BF01442795 .
↑ Blichfeldt, HF Minimální hodnoty kladných kvadratických forem v šesti, sedmi a osmi proměnných // Mathematische Zeitschrift : deník. - 1935. - Sv. 39 . - str. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01201341 .
↑ Vetcinkin, NM (1980). „Unikátnost tříd kladných kvadratických forem, na kterých jsou dosaženy hodnoty Hermitovy konstanty pro 6 ≤ n ≤ 8“. Geometrie pozitivních kvadratických forem . 152 . Trudy Math. Inst. Steklov. str. 34-86.
↑ Klarreich, Erica (30. března 2016), Sphere Packing Solved in Higher Dimensions , Quanta Magazine , < https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions > Archivováno 12. března 2017 na Wayback Machine
↑ Viazovska, Maryna (2016), Problém balení koule v dimenzi 8, arΧiv : 1603.04246 .
↑ Levenshtein, VI Na hranicích pro balení v n - rozměrném euklidovském prostoru // Sovětské matematiky Doklady : časopis . - 1979. - Sv. 20 . - str. 417-421 .
↑ Odlyzko, A.M.; Sloane, NJA Nové hranice pro počet jednotkových koulí, které se mohou dotknout jednotkové koule v n rozměrech // Journal of Combinatorial Theory : journal. - 1979. - Sv. A26 . - str. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .

Literatura

Conway, J. Kvadratické formy dané nám v pocitech . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
John Horton Conway Sloane, Neil JAKulové těsnění ,mřížky a skupiny . — 3. - New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 0-387-98585-9 .
John Horton Conway Smith, Derek A. Očtveřicích a oktoniích . - Natick, Massachusetts: A. K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 . Kapitola 9 pojednává o celočíselných oktinionech a mřížce E8.