Lich Grid

Lichova mřížka je určitý typ mřížky ve 24-rozměrném prostoru .

Budovy

Konstrukce přes Golayův kód

Leachovou mřížku lze definovat pomocí Golayova kódu typu jako obrázek sady vektorů komprimovaných faktorem tak, že ${\mathcal {C}}$ $[24,12,8]$ $2{\sqrt {2}}$ $(a_{1},\tečky ,a_{{24}})\in \mathbb{Z } ^{{24}}$

a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{{24}}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{{24}}{\pmod {8}}

a pro každou třídu j zbytků modulo 4 binární 24bitové slovo v, dané vztahem

v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4)),\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4} },\end{cases}}

patří k . ${\mathcal {C}}$

Konstrukce pomocí pseudoeuklidovského podpisového prostoru (25,1)

Leachovu mřížku lze zkonstruovat pomocí pseudoeuklidovského podpisového prostoru (25.1). Konkrétně v tomto prostoru uvažujeme sudou unimodulární mřížku sestávající z vektorů , jejichž souřadnice jsou všechny současně celočíselné nebo současně poloviční, a v tomto případě , jinými slovy, skalární součin s vektorem všech jednotek je sudý. $\mathrm {II} _{25,1}$ $(x_{0},\tečky ,x_{{25}})$ $x_{0}+\tečky +x_{{24}}-x_{{25}}\in 2\mathbb{Z }$

K takové mřížce patří izotropní vektor . Všimněte si, že vzhledem k izotropii , můžeme proto uvažovat podílový prostor . Omezení skalárního součinu na tento kvocientový prostor (opět kvůli izotropii ) je dobře definované a ukazuje se jako pozitivně definitivní. Průsečíkem původní mřížky s ortogonálním doplňkem při takové faktorizaci bude Leachova mřížka ve výsledném 24-rozměrném euklidovském prostoru [1] . $u=(0,1,\tečky ,24,70)$ $u\in \langle u\rangle ^{{\perp ))$ $\langle u\rangle ^{{\perp }}/\langle u\rangle$ $u$ $(\langle u\rangle ^{{\perp }}\cap {\mathrm {II}}_{{25,1}})/\langle u\rangle$

Vlastnosti

Leachova mřížka je dokonce samoduální (zejména unimodulární ) mřížka s délkou nejkratšího vektoru rovnou 2.

Mříž Leach realizuje maximální možné [2] [3] kontaktní číslo v dimenzi 24. Její kontaktní číslo je [2] [3] 196560

Mřížka Leech implementuje nejhustší [4] [5] balení kuliček v rozměru 24. Hustota balení mřížky Leech je . ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\cca 0,001930$

Skupina automorfismu Leachovy mřížky je Conwayova grupa Co 0 . Zahrnuje některé sporadické skupiny , včetně Co 1 jako faktorové skupiny Co 0 prostorovou inverzí, Co 2 a Co 3 jako podskupiny. Conwayova skupina má objednávku 8 315 553 613 086 720 000. Ačkoli rotační symetrie Leachovy mřížky je velmi vysoká, její skupina automorfismu nezahrnuje žádné odrazy; jinými slovy, Leachova mřížka je chirální .

Viz také

Mřížka E8

Literatura

J. Conway, N. Sloan . Balení koulí, mřížek a skupin. — M.: Mir, 1990.

Poznámky

↑ JH Conway, NJA Sloane. Kapitola 26, Věta 3(b) // Sphere packings, lattices and groups (anglicky) . — S. 524.
↑ 1 2 "Kontaktní počet kuliček a kulových kódů" Archivní kopie ze 14. října 2008 na Wayback Machine - film ze série " Matematické etudy "
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Anotace kurzu V. V. Uspenského The Lich Lattice, aneb Towards the Monster Archival copy ze 7. února 2009 na Wayback Machine
↑ Lisa Grossmanová. Nový matematický důkaz ukazuje, jak skládat pomeranče ve 24 rozměrech // New Scientist . - 2016. - 28. března.