Theta funkce

Theta funkce jsou speciální funkce několika komplexních proměnných . Hrají důležitou roli v mnoha oblastech, včetně teorie abelových variet , moduli prostorů a kvadratických forem . Uplatňují se také v teorii solitonů . Po zobecnění na Grassmannovu algebru se funkce objevují také v kvantové teorii pole [1] .

Nejběžnějším druhem funkcí theta jsou ty, které se nacházejí v teorii eliptických funkcí . S ohledem na jednu z komplexních proměnných (obvykle označovanou z ), funkce theta má tu vlastnost, že sčítá periody souvisejících eliptických funkcí, čímž je činí kvaziperiodickými . V abstraktní teorii se to získá z podmínky svazku čar kapky .

Funkce Jacobi theta

Existuje několik souvisejících funkcí, nazývaných funkce Jacobi theta, a mnoho různých a nekompatibilních systémů zápisu. Jedna funkce Jacobi theta (pojmenovaná podle Carla Gustava Jacobiho ) je funkce definovaná ze dvou komplexních proměnných z a , kde z může být libovolné komplexní číslo a je omezena na horní polovinu roviny , což znamená, že číslo má kladné číslo. imaginární část. Funkce je dána vzorcem $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

kde a . Funkce je Jacobiho forma . Pokud zafixujeme , funkce se stane Fourierovou řadou pro periodickou celou funkci z s periodou 1. V tomto případě funkce theta splňuje identitu $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Funkce se chová velmi pravidelně, bere v úvahu kvaziperiodu a splňuje funkcionální rovnici $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

kde a a b jsou celá čísla.

Pomocné funkce

Funkce Jacobi theta definovaná výše je někdy uvažována společně se třemi dalšími funkcemi theta, v takovém případě je zapsána s dalším indexem 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau)

Přídavné (semiperiodické) funkce jsou definovány vzorci

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\vpravo)\vpravo)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}

Tyto zápisy následovali Riemann a Mumford . Jacobiho původní formulace byla z hlediska nome , nikoli . V Jacobiho zápisu se θ -funkce zapisují jako: ${\displaystyle q=e^{i{\pi }\tau ))$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}

Výše uvedené definice funkce Jacobi theta nejsou zdaleka jediné. Další diskuzi naleznete v článku Funkce Jacobi Theta (obměny zápisu)

Pokud vložíme theta funkce výše, dostaneme čtyři funkce závislé pouze na a definované na horní polorovině (které se někdy nazývají theta konstanty). Ty lze použít k definování různých modulárních forem a k parametrizaci některých křivek. Zejména identita Jacobi $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {čtyři}

je Fermatova křivka čtvrtého stupně .

Jacobi identity

Jacobiho identity popisují, jak jsou funkce theta transformovány modulární skupinou , která je generována mapováním a . Identity pro první transformaci lze snadno najít, protože přidání jedničky k exponentu k má stejný účinek jako přidání jedničky k z ( mod 2). V druhém případě klademe $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Pak

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ zarovnaný}}

Theta funguje z hlediska nome

Namísto vyjádření theta funkcí pomocí z a , můžeme je vyjádřit pomocí argumentu w a nome q , kde , a . V tomto případě se funkce stanou $\tau$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(š,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(š,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(š,q)&=i\součet _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Vidíme, že funkce theta lze definovat pomocí w a q bez přímého odkazu na exponenciální funkci. Vzorce lze proto použít k definování funkcí theta nad jinými poli , kde exponenciální funkce nemusí být všude definována, jako je pole p -adických čísel .

Reprezentace děl

Jacobiho trojný součin (speciální případ Macdonaldových identit ) nám říká, že pro komplexní čísla w a q s a máme $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\součet _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}} .

To lze dokázat elementárními prostředky, jako například v Hardyho a Wrightově Úvodu do teorie čísel .

Pokud vyjádříme funkci theta pomocí objemů a , pak ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Získáme tedy součinový vzorec pro theta funkci formy

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Velký )}{\Velký (}1+\exp {\big (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

Z hlediska waq : _

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left( -{\frac {q}{w^{2}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned))

kde je symbol q -Pochhammer a je funkce q -theta . Pokud se závorky otevřou, získá se trojitý produkt Jacobi ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2 }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

který lze také přepsat jako

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\vpravo).

Tento vzorec platí pro obecný případ, ale je zvláště zajímavý pro skutečné z . Podobné produktové vzorce pro další funkce theta

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ vlevo(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\vpravo),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\vpravo),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

Celočíselné reprezentace

Funkce Jacobi theta mají následující integrální reprezentace:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Explicitní hodnoty

Viz Yi (2004) [2] .

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac {3}{4}}\vpravo  )}}}\end{aligned}}

Některé identity se sériemi

Následující dvě identity pro série byly prokázány Istvanem Mezo [3] :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\vpravo).\end{aligned}}

Tyto vztahy platí pro všechny 0 < q < 1 . Opravením hodnot q získáme následující součty bez parametrů

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ součet _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aligned}}}

Nuly funkcí Jacobi theta

Všechny nuly funkcí Jacobi theta jsou jednoduché nuly a jsou definovány takto:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ konec{aligned}}

kde m , n jsou libovolná celá čísla.

Vztah k Riemannově funkci zeta

Poměr

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

použil Riemanna k prokázání funkční rovnice pro Riemannovu zeta funkci prostřednictvím Mellinovy transformace

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ mathrm {d} t}{t}}

a lze ukázat, že transformace je invariantní při změně s na 1 − s . Odpovídající integrál pro z ≠ 0 je uveden v článku o Hurwitzově zeta funkci .

Spojení s Weierstrassovou eliptickou funkcí

Theta funkce použil Jacobi ke konstrukci (ve formě přizpůsobené pro zjednodušení výpočtů) svých eliptických funkcí jako částečných částí výše uvedených čtyř theta funkcí a mohl je také použít ke konstrukci Weierstrassových eliptických funkcí , protože

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

kde druhá derivace je vzata vzhledem k z a konstanta c je definována tak, že Laurentova řada funkce ℘( z ) v bodě z = 0 má nulový konstantní člen.

Vztah s funkcí q -gamma

Čtvrtá funkce theta - a pak zbytek - je nerozlučně spojena s Jacksonovou q -gama funkcí vztahem [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Vztah s Dedekindovou eta-funkcí

Nechť je funkce Dedekind eta a argument funkce theta je reprezentován jako nom . Pak $\eta (\tau )$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \ vpravo )}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Viz také článek o modulárních funkcích Weber .

Eliptický modul

J-invariant je roven

{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)){\vartheta _{00}(0,\tau )^{2))))

a dodatečný eliptický modul je

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Řešení tepelné rovnice

Jacobiho theta funkce je základním řešením jednorozměrné rovnice tepla s prostorovými periodickými okrajovými podmínkami [5] . Vezmeme-li skutečné a se skutečným a kladným t , můžeme psát $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

co řeší rovnici tepla

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Toto theta řešení je 1-periodické v x a má tendenci k periodické delta funkci nebo Diracově hřebenu ve smyslu rozdělení $t\to 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

Obecná řešení problému s prostorovými periodickými počátečními hodnotami pro rovnici tepla lze získat konvolací počátečních dat s funkcí theta. $t = 0$

Spojení se skupinou Heisenberg

Funkce Jacobi theta je invariantní při působení jednotlivé podgrupy Heisenbergovy grupy . Tato invariance je prezentována v článku o theta reprezentaci Heisenbergovy skupiny.

Zobecnění

Jestliže F je kvadratická forma v n proměnných, pak theta funkce spojená s F je

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

se součtem nad mřížkou celých čísel ℤ n . Tato funkce theta je modulární formou s váhou (na správně definované podskupině) modulární skupiny . V rozšíření Fourierovy řady ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

čísla se nazývají čísla reprezentující formu . $R_{F}(k)$

Ramanujanova funkce theta

Riemannovská funkce theta

Nechat

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\jméno operátora {Im} F>0\right\}

je množina symetrických čtvercových matic , jejichž imaginární část je kladně definitní . ℍ n se nazývá horní Siegelův poloprostor a je vícerozměrnou analogií horní poloroviny . N - rozměrnou analogií modulární grupy je symplektická grupa Sp(2 n , ℤ ) . Pro . Roli hraje n - rozměrná analogie kongruentních podgrup $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ velký \}}.

Pak, je-li dáno , je Riemannova theta funkce definována jako $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{ 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.

Zde je n - rozměrný komplexní vektor a horní index T znamená transponovat . Funkce Jacobi theta je pak speciální případ s a , kde je horní polorovina . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

Riemannova funkce theta konverguje absolutně a rovnoměrně na kompaktních podmnožinách . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Funkční rovnice funkce

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

což platí pro všechny vektory a pro všechny }} a . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Poincare série

Poincaré série zobecňuje theta sérii na automorfní formy , jak je aplikováno na libovolné fuchsovské grupy .

Poznámky

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , str. 381–400.
↑ Mező, 2013 , str. 2401–2410.
↑ Mező, 2012 , str. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , s. 431–450.

Literatura

Yousuke Ohyama. Diferenciální vztahy funkcí theta // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , no. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sek. 16,27 a násl. // Příručka matematických funkcí . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Základy teorie eliptických funkcí. - Moskva: "Nauka" Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1970. - (Engineer's Physical and Mathematical Library). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemannovy povrchy. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (diskuze o Riemannově funkci theta)
Hardy GH , Wright EM Úvod do teorie čísel. — 4. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Funkce komplexní proměnné. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta funkce s aplikacemi na Riemannovy povrchy. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN ch. 21 // Kurz moderní analýzy. — 4. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (Historie Jacobi θ -funkcí)
Jinhee Yi. Identity funkce theta a explicitní vzorce pro funkci theta a jejich aplikace // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
István Mező. q - Raabeho formule a integrál čtvrté funkce Jacobi theta // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , č.p. 2 . — S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
István Mező. Duplikační vzorce zahrnující funkce Jacobi theta a Gosperovy q -trigonometrické funkce // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , č.p. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Čtení pro další čtení

Theta funkce, Jacobiho eliptické funkce // Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I. V. - Sovětská encyklopedie, 1985. - V. 5. - (Encyklopedie, slovníky, příručky).
Prasolov VV, Solovyov Yu P. Algebraické rovnice a funkce theta. — M. : MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. Theta funkce v komplexní analýze a teorii čísel // Průzkumy v teorii čísel / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Vývoj v matematice). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schoeneberg. IX. Řada Theta // Eliptické modulární funkce. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Kvantování, klasická a kvantová teorie pole a funkce theta. - M. , 2003.

Odkazy

Mojsejev Igor. Eliptické funkce pro Matlab a Octave . (neurčitý)