Snub kostka

Snub cube [1] , nebo snub cube [2] [3] , je polopravidelný mnohostěn (Archimédovo těleso) s 38 plochami, složený ze 6 čtverců a 32 pravidelných trojúhelníků . Každý z jeho 24 identických vrcholů má jednu čtvercovou plochu a čtyři trojúhelníkové plochy. Trojúhelníkové plochy jsou rozděleny do dvou skupin: 8 z nich je obklopeno pouze dalšími trojúhelníkovými, zbývajících 24 je obklopeno čtvercem a dvěma trojúhelníkovými.

Má 60 stejně dlouhých žeber.

Název "krychle s tupým nosem" ( lat. cubus simus ) dal tomuto mnohostěnu Johannes Kepler ve svém pojednání z roku 1619 " Harmonie světa ". Harold Coxeter , který poznamenal, že mnohostěn je příbuzný osmistěnu ve stejném rozsahu jako krychle , navrhl, aby byl nazýván „ kuboctahedrem s tupým nosem “.

Na rozdíl od většiny ostatních Archimédových těles je snub kostka (spolu s tupým dvanáctistěnem ) chirální a existuje ve dvou různých zrcadlově symetrických (enantiomorfních) verzích – „pravá“ a „levá“.

Metrické charakteristiky a úhly

Při určování metrických vlastností krychle s tupým nosem je třeba řešit kubické rovnice a používat kubické odmocniny - zatímco pro achirální Archimedova tělesa a pro platónská tělesa není potřeba nic složitějšího než kvadratické rovnice a odmocniny . Proto snub kostka na rozdíl od platónských a achirálních Archimedových těles neumožňuje euklidovskou konstrukci [4] . Totéž platí pro tupý dvanáctistěn, stejně jako pro jeho duální katalánská tělesa.

Při popisu metrických vlastností a úhlů snub kostky hraje důležitou roli tribonacciho konstanta :

t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}] {19+3{\sqrt {33}}}}\right)\cca 1{,}8392868.

Pokud má snub kostka hranu délky , její povrch a objem jsou vyjádřeny jako $A$

S=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\cca 19{,}8564065a^{2},

V={\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)))}\;a^{3}\cca 7{,}8894774a^{3}.

Poloměr opsané koule (procházející všemi vrcholy mnohostěnu) se pak bude rovnat

R={\sqrt {\frac {3-t}{4(2-t)))}\;a\cca 1{,}3437134a;

poloměr napůl vepsané koule (dotýkající se všech hran v jejich středech) -

\rho ={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {1}{4(2-t)} }}\;a\cca 1{,}2472232a.

Není možné vměstnat kouli do kostky s tupým nosem tak, aby se dotýkala všech tváří. Poloměr největší koule, kterou lze umístit do krychle s tupým nosem s hranou (dotkne se pouze všech čtvercových ploch v jejich středech) je $A$

r_{4}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}}}={\sqrt {\frac {t-1}{4(2 -t)}}}\;a\cca 1{,}1426135a.

Vzdálenost od středu mnohostěnu k libovolné trojúhelníkové ploše přesahuje a je rovna $r_4$

r_{3}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{3}}}}={\sqrt {\frac {t+1}{12(2 -t)}}}\;a\cca 1{,}2133558a.

Dihedrální úhly mezi dvěma sousedními trojúhelníkovými plochami přítlačné krychle jsou stejné mezi sousedními čtvercovými a trojúhelníkovými plochami $\alpha _{33}=\arccos \,{\frac {1-2t}{3}}\cca 153{,}23^{\circ },$ $\alpha _{43}=\arccos \left(-{\sqrt {1-{\frac {2}{3t))))\right)\cca 142{,}98^{\circ }.$

Prostorový úhel ve vrcholu je roven $3\alpha _{33}+2\alpha _{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi .$

V souřadnicích

"Levá" kostka s tupým nosem může být umístěna v kartézském souřadnicovém systému tak, že souřadnice jejích 12 vrcholů jsou všechny možné sudé permutace těch trojic čísel, mezi nimiž je sudý počet záporných čísel, a souřadnice zbývajících 12 vrcholů jsou všechny možné liché permutace těchto trojic, mezi nimiž je lichý počet záporných. $(\pm t;\pm 1;\pm t^{-1}),$

Pokud uděláme opak – vezmeme sudé permutace trojic s lichým počtem mínusů a liché permutace trojic se sudým počtem mínusů – dostaneme „správnou“ verzi kostky s tupým nosem.

Počátkem souřadnic bude v obou případech střed opsaných a polovepsaných koulí mnohostěnu. $(0;0;0)$

Poznámky

↑ Wenninger 1974 , str. 20, 41.
↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , s. 437, 435.
↑ Lyusternik, 1956 , str. 183.
↑ W. Ball, G. Coxeter. Matematické eseje a zábava. — M.: Mir, 1986. — P. 153.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Snub - nosed cube at Wolfram MathWorld .

Literatura

M. Wenninger . modely mnohostěnů. - Svět , 1974.
Mnohoúhelníky a mnohostěny // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha čtvrtá. Geometrie / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Konvexní obrazce a mnohostěny. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury , 1956.

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný