Inflexní bod

Inflexní  bod je bod na rovinné křivce , ve kterém její orientované zakřivení mění znaménko. Pokud je křivka grafem funkce, pak se v tomto bodě konvexní část funkce odděluje od konkávní (tj. druhá derivace funkce změní znaménko).

Definice

(Jednoduchý) inflexní bod pravidelné křivky je takový bod této křivky, ve kterém má tečna ke křivce s ní kontakt druhého řádu a rozděluje křivku , tedy body křivky, které leží v nějakém sousedství křivky. daný bod na opačných stranách tohoto bodu také leží na různých stranách od tečny [1] [2] . Pokud je křivka 2-pravidelná, pak je podmínka nahrazena následujícím: orientované zakřivení křivky mění znaménko při průchodu inflexním bodem. Bodem nejvyššího (degenerovaného) ohybu křivky je její bod, tečna ke křivce, ve které je s ní v kontaktu, jejíž řád není menší než tři, a tečna křivku rozděluje [1] .

Podmínka pro změnu znaménka orientovaného zakřivení není ekvivalentní rozdělení křivky na konkávní a konvexní části. Takže v případě vrcholu křivka nemusí mít tečnu. Aby se to eliminovalo, výše uvedené definice vyžadují pravidelnost křivky. Zajímavějším případem je funkce for when , která se v bodě 0 dotýká osy x a protíná ji, ale mění znaménko blízko nuly nekonečněkrát; zde dokonce existuje druhá spojitá derivace [3] . Pro vyloučení takového případu je nutné, aby funkce měla izolovaný extrém (viz níže).

Bod na křivce se nazývá bod narovnání, pokud je zakřivení křivky v tomto bodě nulové [4] . Někdy se bod rovnání křivky, který není inflexním bodem této křivky, nazývá parabolický bod rovnání [1] .

Diferenciovatelná funkce má inflexní bod ( x , f ( x )) právě tehdy, když její první derivace f′ má izolovaný extrém v x (to není totéž, co f má extrém v tomto bodě). To znamená, že v nějakém okolí bodu x existuje jeden a pouze jeden bod, ve kterém f′ má (lokální) minimum nebo maximum. Pokud jsou všechny extrémy funkce f′ izolované , pak je inflexním bodem bod na grafu f , kde tečna protíná křivku [5] [6] .

Nejvyšším (degenerovaným) vrcholem pravidelné křivky je její bod, ve kterém se jí dotýká oskulační kružnice, jejíž řád je vyšší než třetí [1] .

Vzestupný inflexní bod  je inflexní bod, kde má derivace lokální minimum, a sestupný inflexní bod je inflexní bod, kde derivace má lokální maximum.

Pro algebraickou křivku je nesingulární bod inflexním bodem právě tehdy, když je násobnost průsečíku tečny s křivkou lichá a větší než dvě [7] .

Vlastnosti

Inflexní bod je jednoznačně charakterizován dvěma vlastnostmi:

Je-li křivka definována jako graf diferencovatelné funkce , je inflexní bod krajním bodem pro .

Nezbytné a postačující podmínky

Jestliže x je inflexní bod pro f , pak druhá derivace f″ ( x ) je nula, pokud existuje, ale tato podmínka není dostatečná . Požaduje se, aby nejmenší řád nenulové derivace (nad druhou) byl lichý (třetí, pátá atd. derivace). Pokud je nejmenší řád nenulové derivace sudý, není bod inflexním bodem, ale bodem parabolického napřímení [8] . V algebraické geometrii se však jak inflexní body, tak rektifikační body běžně označují jako inflexní body .

Definice předpokládá, že f má nenulovou derivaci vyššího řádu vzhledem k x , která nutně nemusí existovat. Pokud ale existuje, z definice vyplývá, že znaménko f′ ( x ) je konstantní na obou stranách x v okolí x .

Postačující podmínkou pro inflexní bod je:

1) Postačující podmínkou pro inflexní bod je:

Jestliže f ( x ) je k krát spojitě diferencovatelných v nějakém okolí bodu x , kde k je liché a k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 pro n = 2,…, k  - 1 a f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, pak x 0 je inflexní bod f ( x ).

2) Další postačující podmínka vyžaduje a mít různá znaménka v okolí bodu x , za předpokladu, že v tomto bodě existuje tečna [2] .

Klasifikace inflexních bodů

Inflexní body lze klasifikovat podle derivace f′ ( x ).

Příkladem sedlového bodu je bod (0,0) grafu y = x 3 . Tečna je osa x a rozděluje graf v tomto bodě.

Nestacionární inflexní body lze demonstrovat grafem funkce y \ u003d x 3 , pokud je mírně pootočen vzhledem k počátku. Tečna na počátku stále rozděluje graf na dvě části, ale gradient není nulový.

Funkce s přestávkami

Některé funkce v určitém bodě mění konvexnost/konkávnost, ale v tomto bodě nemají inflexní bod. Místo toho mohou změnit zakřivení na přechodu vertikální asymptoty nebo v bodě diskontinuity. Vezměte si například funkci 2 x 2 /( x 2  - 1). Je konvexní v | x | > 1 a je konkávní v | x | < 1. Tato funkce však nemá inflexní bod, protože 1 a −1 nepatří do definičního oboru funkce.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , str. 39.
  2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semenďajev, 2005 , str. 231.
  3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , str. 305.
  4. ↑ Shikin, 1997 , s. 27.
  5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , str. 294-305.
  6. ↑ Kudryavtsev, 1981 , s. 190-195.
  7. ↑ Inflexní bod . encyklopedieofmath.org .
  8. ↑ Raševskij, 1950 , s. 18-19.

Literatura

Odkazy