Po částech lineární funkce

Po částech lineární funkce je funkce definovaná na množině reálných čísel , lineární na každém z intervalů , které tvoří doménu definice .

Formální definice a přiřazení

Nechť — jsou uvedeny body změny vzorců. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Stejně jako všechny funkce definované po částech je i po částech lineární funkce obvykle specifikována pro každý z intervalů pomocí samostatného vzorce. Napište to ve tvaru: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$ $f(x)={\begin{cases}k_{0}x+b_{0},\quad x<x_{1}\\k_{1}x+b_{1},\quad x_{1}< x<x_{2}\\\cdots \\k_{n}x+b_{n},\quad x_{n}<x\end{cases}}$

Pokud jsou navíc splněny odpovídající podmínky

k_{i}x_{i}+b_{i}=k_{{i+1}}x_{i}+b_{{i+1}}=f(x_{i})

v ,

i=1,2,\ldots ,n-1

pak bude po částech lineární funkce spojitá . Spojitá po částech lineární funkce se také nazývá lineární spline .

Alternativní hledání

Lze dokázat, že libovolnou spojitou po částech lineární funkci lze definovat nějakým vzorcem tvaru

f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+\ldots +c_{n}|x-x_{n}|

V tomto případě mohou být všechny koeficienty kromě b vyjádřeny jako koeficienty sklonu přímek v samostatných intervalech:

c_{i}={\frac {k_{i}-k_{{i-1}}}{2}}

, v

i=1,2,\ldots ,n

a={\frac {k_{0}+k_{n}}{2}}

Vlastnosti

Libovolnou spojitou funkci lze libovolně aproximovat po částech lineární funkcí (ve spojité metrice).

Příklad lineární funkce po částech

Graf funkce na obrázku je analyticky dán jako:

f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if}}\ x\leq -3\\x+3&{\text{if}}\ -3<x<0 \\-2x+3&{\text{if}}\ 0\leq x<3\\0,5x-4&{\text{if}}\ x\geq 3\end{cases}}

Zdroje

Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M .: Vzdělávání , 1991. - S. 272-274. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Piecewise linear function // Ekonomický a matematický slovník: Slovník moderní ekonomické vědy. - M .: Obchod. L. I. Lopatnikov. 2003.

Odkazy

Úkoly na téma: Po částech lineární funkce.