Reesova-Thorinova věta

Ries-Thorinův teorém je tvrzení o vlastnostech interpolačních prostorů . Byl formulován v roce 1926 Marcelem Reesem [1] a formulován a dokázán ve formě operátora Olofem Thorinem v roce 1939 [2] [3] .

Podle věty je pro dva prostory a s mírami , respektive a pro dva Banachovy prostory funkcí s komplexními hodnotami sčítatelnými s mocninou s ohledem na míry , trojnásobek Banachových prostorů normálního interpolačního typu s ohledem na trojitý if : $(\Omega _{{1}},\Sigma _{{1}},\mu _{{1}})$ $(\Omega _{{2}},\Sigma _{{2}},\mu _{{2}})$ $\mu _{{1}}$ $\mu _{{2}}$ $L_{{p}}(\Omega _{{i}})$ $p$ $(p\geqslant 1)$ $\mu _{{i}}$ $(i=1,2)$ $(L_{{p_{{0}}}}(\Omega _{{1}}),L_{{p_{{1}}}}(\Omega _{{1}}),L_{{p} }(\Omega _{{1}}))$ $\alpha$ $(L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))$

{\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}

a ,

{\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}

kde [4] . (Trojice Banachových prostorů je typu interpolace , kde s ohledem na trojku , pokud je interpolativní a nerovnost [5] je splněna .) $0\leqslant \alpha \leqslant 1$ $(A,B,E)$ $\alpha$ $0\leqslant \alpha \leqslant 1$ $(C,D,F)$ $\|T\|_{{E\rightarrow F}}\leqslant c\|T\|_{{A\rightarrow C}}^{{1-\alpha }}\|T\|_{{B\ šipka vpravo D}}^{{\alpha }}$

K důkazu věty se používá věta o třech přímkách z teorie analytických funkcí [6] .

Poznámky

↑ Riesz M., Sur les maxima des forms bilineares et sur les fontctionalles linearies, Acta Math., 49 (1926), 465-497
↑ Thorin GO, Rozšíření věty o konvexitě díky M. Rieszovi, Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund, 4 (1939), 1-5
↑ Thorin GO, Věty o konvexitě zobecňující věty M. Riesze a Hadamarda s některými aplikacemi, Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund 9 (1948), 1-58
↑ Jeřáb, 1978 , str. 37.
↑ Jeřáb, 1978 , str. 36.
↑ Sigmund A. Trigonometric series, M., Mir, 1965, vol. II, str. 144-148

Literatura

S. G. Kerin , Yu. I. Petunin , E. M. Semenov Interpolace lineárních operátorů. — M .: Nauka, 1978. — 400 s.
Berg J., Löfström J. Interpolační prostory. Úvod. — M .: Mir, 1980. — 264 s.