Tenzor setrvačnosti

Tenzor setrvačnosti - v mechanice absolutně tuhého tělesa - je tenzorová veličina, která dává do vztahu moment hybnosti tělesa a kinetickou energii jeho rotace s úhlovou rychlostí :

\ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}

kde je tenzor setrvačnosti, je úhlová rychlost, je moment hybnosti $\J$ $\ {\vec {\omega ))$ ${\vec {L}}$

\ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}

\ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \přes 2m}

v komponentách to vypadá takto:

\ L_{i}=\součet _{j}J_{{ij}}\omega _{j}

\ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\součet _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}

Pomocí definice momentu hybnosti soustavy N hmotných bodů (ve vzorcích níže přečíslovaných indexem k ):

\ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec { v}}_{k}\ )\ ]

a kinematický výraz pro rychlost ve smyslu úhlové rychlosti:

\ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]

a ve srovnání se vzorcem vyjadřujícím moment hybnosti z hlediska tenzoru setrvačnosti a úhlové rychlosti (první v tomto článku) není obtížné získat jednoznačné vyjádření pro tenzor setrvačnosti:

\ J_{ij}=\sum _{k}\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k} })\

nebo v nepřetržitém tvaru:

\ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j})\ dm=\int (\delta _{ij}r^{2} -r_{i}r_{j})\ \rho dV

kde r jsou vzdálenosti od bodů ke středu, vůči nimž se vypočítá tenzor setrvačnosti, a r i jsou souřadnicové složky odpovídajících segmentů, i a j jsou čísla souřadnic (od 1 do 3), zatímco index k (od 1 do N) v diskrétním vzorci vyjmenovává body systému nebo malé části, které jej tvoří.

Již z těchto vzorců je jasně vidět, že tenzor setrvačnosti jakéhokoli tělesa závisí na bodu, vůči kterému se počítá. Obvykle vybranou roli hraje tenzor setrvačnosti vzhledem k těžišti tělesa (pak je p ve třetím vzorci právě hybnost tělesa). Může být také vhodné použít moment setrvačnosti vypočítaný vzhledem k pevnému (pevnému) bodu tělesa nebo bodu umístěnému na pevné ose otáčení. Přepočet tenzoru setrvačnosti pro nový střed, pokud jej známe vzhledem ke starému, usnadňuje implementaci Steinerovy věty (umožňuje to také ve formě přepočtu, například vzorce kinetické energie, čímž umožňuje můžete pracovat pouze s tenzorem setrvačnosti vzhledem k těžišti).

Ze stejných vzorců je vidět, že se jedná o symetrický tenzor, tedy J ij =J ji .

Ve spojité formě lze vzorec odvodit takto:

{\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \ int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV

Odkud se podle Lagrangeova vzorce dostaneme

{\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {\omega }}\cdot r^{2}-{\vec {r}}({ \vec {\omega )),\ {\vec {r)))\ ]dV

Zapisujeme rozklad vektorů a na ortonormální bázi: $\ {\vec {v))$ $\ {\vec {r))$

\ {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

\ {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}

Podle vlastností skalárního součinu

{\displaystyle \ ({\vec {\omega )),\ {\vec {r)))=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z))

Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že můžeme zapsat průměty vektoru momentu hybnosti na osu: ${\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2))$

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x (x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV

Nebo přinášet podobné podmínky

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy -\omega _{z}xz\right)dV

Podobně

L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx -\omega _{z}yz\right)dV

L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx -\omega _{y}zy\right)dV

Představme si notaci:

J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV

J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV

J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV

J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV

J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV

J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV

Z nich můžeme sestavit tenzor setrvačnosti v maticovém tvaru:

J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz }\\\end{vmatrix}}

Je snadné zkontrolovat, že podle našeho zápisu je spojení tenzoru pravdivé:

\left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z} \\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx} \omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.

Jako každý symetrický tenzor lze i tenzor setrvačnosti diagonalizovat, to znamená, že lze nalézt tři ortogonální souřadnicové osy ( vlastní osy , jejichž orty jsou vlastní vektory a tvoří vlastní základ tenzoru setrvačnosti ) - pevně spojené samozřejmě s tuhým tělesem - v matice tenzoru setrvačnosti je diagonální a její vlastní hodnoty (vlastní hodnoty tenzoru setrvačnosti) určují hlavní momenty setrvačnosti tělesa [1] .

Je snadné vidět, že hlavní momenty setrvačnosti se shodují s axiálními momenty setrvačnosti kolem hlavních os:

\ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm

\ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm

\ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm

(Poznámka: x, y a z v těchto vzorcích znamenají přesně hlavní osy, chceme-li se shodovat s hlavními body).

Všechny vzorce v tomto článku předpokládaly použití ortonormálního základu , takže se používají pouze dolní indexy tenzoru, protože v tomto případě není žádný rozdíl mezi horními a dolními indexy.
Tenzor setrvačnosti lze považovat za zobecnění konceptu momentu setrvačnosti kolem osy ; spojení těchto veličin - viz článek Moment setrvačnosti (tam jsou vlastní hodnoty tenzoru setrvačnosti označeny jako ). Při čtení článku odkazem je třeba mít na paměti určitý rozdíl v zápisu, takže v tomto článku nejsou uvedeny odpovídající složky tenzoru setrvačnosti, ale odstředivé momenty setrvačnosti, které se v absolutní hodnotě shodují s odpovídajícími složkami tenzoru, ale mají opačné znaménko. ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$ ${\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx))$

Další použití termínu

Někdy se termín tenzor setrvačnosti používá pro matematicky podobné struktury, které nemají přímý mechanický význam, například pokud ρ ve vzorcích není hmotnostní hustota, ale hustota jiných veličin, například hustota statistického distribuce ; a prostor, ve kterém se výpočet odehrává, může být v zásadě jakýkoli, ačkoli případ stejné povahy všech os (tedy stejných jednotek měření podél nich) je nejsmysluplnější. Toto použití termínu je přímou geometrickou analogií, stejně jako použití termínů jako těžiště nebo těžiště v podobném kontextu.

V případě aplikace termínu tenzor setrvačnosti na distribuční hustoty, zejména pokud je uvažován relativně k „těžišti“, hovoříme v podstatě o kovarianční matici a problém hledání jejích vlastních vektorů a vlastních hodnot může také být diskutován v pojmech "hlavní osy" a "hlavní momenty", což odpovídá nejen analogii s momentem setrvačnosti, ale také poměrně striktní terminologii druhých momentů vícerozměrného rozdělení (vícerozměrné náhodné veličiny) ve statistice. (podstata i terminologie zde mohou být velmi blízko). Přitom ve dvourozměrném případě se tenzor setrvačnosti a kovarianční matice ve vlastních osách zcela shodují - až do permutace os a v případech vyšších dimenzí nemluvíme o koincidenci, ale pouze o formálně i významově úzce souvisejících maticích, diagonizujících v tomto případě v jednom a tomtéž základu (majícím stejné vlastní osy).

Viz také

Poznámky

↑ Shakhoval S. N., Melnikov G. I.// PARAMETRICKÁ IDENTIFIKACE SETRVAČNÝCH TENZORŮ TĚLES PŘI KULOVÝCH POHYBech S POMALU VLASTNÍ ROTACE Archivní kopie ze dne 19. září 2015 na Wayback Machine .- Článek. - Vědeckotechnický bulletin ITMO. - Leden-únor 2012. - Číslo 1 (77). - MDT 681,5 + 531