Těžiště

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. července 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Těžiště (též střed setrvačnosti ) je geometrický bod, jehož poloha je určena rozložením hmoty v tělese a posunutí charakterizuje pohyb tělesa nebo mechanické soustavy jako celku [1] . Vektor poloměru daného bodu je dán vzorcem

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r }}){\vec {r}}dV,

kde je hustota závislá na souřadnicích a integrace se provádí přes objem tělesa. Těžiště může být uvnitř nebo vně těla. $\rho ({\vec {r)))$

Použití konceptu těžiště, stejně jako souřadnicového systému spojeného s těžištěm, je vhodné v mnoha aplikacích mechaniky a zjednodušuje výpočty. Pokud vnější síly nepůsobí na mechanický systém, pak se jeho těžiště pohybuje konstantní rychlostí co do velikosti a směru.

Giovanni Ceva aplikoval uvažování o těžištích na řešení geometrických problémů, v důsledku toho byly formulovány Menelaovy věty a Cevovy věty [2] .

V případě soustav hmotných bodů a těles v homogenním gravitačním poli se těžiště shoduje s těžištěm, i když v obecném případě jde o odlišné pojmy.

Těžiště v klasické mechanice

Definice

Poloha těžiště (středu setrvačnosti) soustavy hmotných bodů se v klasické mechanice určuje takto [3] :

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}} },

kde je vektor poloměru těžiště, je vektor poloměru i - tého bodu systému, je hmotnost i -tého bodu. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\displaystyle m_{i))$

V případě spojitého rozložení hmoty:

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,

kde je celková hmotnost systému, je objem, je hustota. Těžiště tedy charakterizuje rozložení hmoty na tělese nebo soustavě částic. $M$ $PROTI$ $\rho$

Pokud se systém neskládá z hmotných bodů, ale z rozšířených těles o hmotnosti , pak poloměrový vektor těžiště takového systému souvisí s poloměrovými vektory těžišť těles vztahem [4] : $M_{i}$ $R_{c}$ $R_{{ci}}$

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci))}{\sum \limits _{i}M_{i }}}.

Nechť je uvedeno několik soustav hmotných bodů s hmotnostmi soustavy Poloměr-vektor : $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ ${\vec {R}}_{c_{n}}$ $n$

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_ {n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{ \vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n }}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}= {\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

Při přechodu na rozšířená tělesa se spojitým rozdělením hustoty budou vzorce obsahovat integrály místo součtů, což dá stejný výsledek.

Jinými slovy, v případě prodloužených těles platí vzorec, který se svou strukturou shoduje s tím, který se používá pro hmotné body.

Příklady

Těžiště plochých homogenních obrazců

Segment má střed.
Pro mnohoúhelníky:
- Rovnoběžník má bod, kde se úhlopříčky protínají .
- Trojúhelník má střední průsečík ( těžiště ).
Pravidelný mnohoúhelník má střed rotační symetrie .
Půlkruh má bod rozdělující kolmý poloměr vzhledem ke středu kružnice. ${\frac {4}{3\pi }}$

Souřadnice těžiště homogenního plochého útvaru lze vypočítat pomocí vzorců (důsledek Papp-Guldinových teorémů ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

a kde je objem těla získaný otáčením obrázku kolem odpovídající osy, je plocha obrázku.

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

V_{x},V_{y}

S

Těžiště obvodů homogenních obrazců

Těžiště stran trojúhelníku je ve středu vepsané kružnice dalšího trojúhelníku (trojúhelník s vrcholy umístěnými ve středních bodech stran tohoto trojúhelníku). Tento bod se nazývá Spiekerův střed . To znamená, že pokud jsou strany trojúhelníku vyrobeny z tenkého drátu stejného průřezu, pak se těžiště ( barycenter ) výsledné soustavy bude shodovat se středem vepsané kružnice dalšího trojúhelníku nebo se Spiekerem. centrum.

Použití

Pojem těžiště je široce používán ve fyzice, zejména v mechanice.

Pohyb tuhého tělesa lze považovat za superpozici pohybu těžiště a rotačního pohybu tělesa kolem jeho těžiště. V tomto případě se těžiště pohybuje stejným způsobem jako těleso se stejnou hmotností, ale pohybovaly by se nekonečně malé rozměry ( hmotný bod ). To konkrétně znamená, že pro popis tohoto pohybu platí všechny Newtonovy zákony . V mnoha případech lze rozměry a tvar těla zcela ignorovat a uvažovat pouze pohyb jeho těžiště.

Často je vhodné uvažovat o pohybu uzavřeného systému v referenční soustavě spojené s těžištěm. Takový referenční systém se nazývá systém těžiště (C-systém) nebo systém středu setrvačnosti . V něm zůstává celková hybnost uzavřeného systému vždy rovna nule, což nám umožňuje zjednodušit rovnice jeho pohybu.

Těžiště v relativistické mechanice

V případě vysokých rychlostí (řádově rychlosti světla ) (například ve fyzice elementárních částic ) se k popisu dynamiky systému používá přístroj SRT . V relativistické mechanice (SRT) jsou pojmy těžiště a systém těžiště také nejdůležitějšími pojmy, ale definice pojmu se mění:

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}} },

kde je vektor poloměru těžiště, je vektor poloměru i -té částice systému, je celková energie i -té částice. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\displaystyle E_{i))$

Tato definice platí pouze pro systémy neinteragujících částic. V případě interagujících částic musí definice výslovně zohledňovat hybnost a energii pole vytvořeného částicemi [5] .

Aby se předešlo chybám, je třeba si uvědomit, že v SRT není těžiště charakterizováno rozložením hmoty, ale rozložením energie. V průběhu teoretické fyziky od Landaua a Lifshitze je preferován termín „střed setrvačnosti“. V západní literatuře o elementárních částicích se používá termín „centrum hmotnosti“ ( anglicky center-of-mass ): oba termíny jsou ekvivalentní.

Rychlost těžiště v relativistické mechanice lze zjistit podle vzorce:

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p} _{i}.

Související pojmy

Těžiště vs. barycentrum

Pojem "těžiště" je synonymem pro jeden z významů pojmu barycentrum (ze starořeckého βαρύς - těžký + κέντρον - střed), ale ten se používá především v problémech astrofyziky a nebeské mechaniky. Barycentrem je míněno těžiště společné několika nebeským tělesům, kolem kterých se tato tělesa pohybují. Příkladem může být společný pohyb planety a hvězdy (viz obrázek) nebo složky dvojhvězd . Těžiště (barycenter) je v tomto případě umístěno na délkovém segmentu spojujícím tělesa s hmotami a ve vzdálenosti od tělesa . $l$ $m_1$ $m_2$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $m_1$

Další význam slova barycenter odkazuje spíše na geometrii než fyziku; v této hodnotě se výraz pro souřadnici barycentra liší od vzorce pro těžiště nepřítomností hustoty (jako by vždy byla konst). $\rho =$

Těžiště vs. těžiště

Těžiště těla by se nemělo zaměňovat s těžištěm.

Těžiště mechanické soustavy je bod, vůči kterému je celkový moment tíhových sil ( působících na soustavu) roven nule. Například v systému sestávajícím ze dvou stejných hmot spojených neohebnou tyčí a umístěných v nehomogenním gravitačním poli (například planety) bude těžiště uprostřed tyče, zatímco těžiště tyče soustava bude posunuta na ten konec tyče, který je blíže k planetě (protože hmotnost P = m g závisí na parametru gravitačního pole g ), a obecně řečeno je dokonce umístěn mimo tyč.

V rovnoměrném gravitačním poli se těžiště vždy shoduje s těžištěm. V nekosmických problémech lze gravitační pole obvykle považovat za konstantní v rámci objemu tělesa, takže v praxi se tato dvě centra téměř shodují.

Ze stejného důvodu se pojmy těžiště a těžiště shodují, když se tyto pojmy používají v geometrii, statice a podobných oblastech, kde lze jejich aplikaci ve srovnání s fyzikou nazvat metaforickou a kde je situace jejich ekvivalence implicitně předpokládá se (protože zde neexistuje skutečné gravitační pole, pak zohlednění jeho heterogenity nedává smysl). V těchto použitích jsou tyto dva termíny tradičně synonyma a často se dává přednost druhému jednoduše proto, že je starší.

Viz také

Poznámky

↑ Targ S. M. Střed setrvačnosti (těžiště) // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1999. - V. 5: Stroboskopické přístroje - Jas. - S. 624-625. — 692 s. — 20 000 výtisků. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milán, 1678
↑ Zhuravlev, 2001 , str. 66.
↑ Feynman R. , Layton R., Sands M. Vydání 2. Vesmír. Čas. Pohyb // Feynman přednáší z fyziky . - M .: Mir, 1965. - 164 s. - S. 68.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988 . — 512 s. - ("Teoretická fyzika", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Literatura

Bobylev D.K. Center, ve fyzice // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Zhuravlev VF Základy teoretické mechaniky. 2. vyd. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 . .