Huygens-Steinerova věta

Huygens-Steinerova věta ( Huygensova věta, Steinerova věta ): moment setrvačnosti tělesa kolem libovolné pevné osy je roven součtu momentů setrvačnosti tohoto tělesa vůči ose rovnoběžné s ní, procházející těžiště tělesa a součin hmotnosti tělesa krát druhá mocnina vzdálenosti mezi osami [1] : $J$ $J_{C}$ $m$ $d$

J=J_{C}+md^{2}

Věta je pojmenována po švýcarském matematikovi Jakobu Steinerovi a holandském matematikovi, fyzikovi a astronomovi Christianu Huygensovi .

Závěr

Budeme uvažovat absolutně tuhé těleso tvořené množinou hmotných bodů [2] .

Definicí momentu setrvačnosti pro a můžeme psát $J_{C}$ $J$

J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},

kde je vektor poloměru bodu tělesa v souřadnicovém systému s počátkem umístěným ve středu hmoty a je vektor poloměru bodu v novém souřadnicovém systému, jehož počátkem nová osa prochází. $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} '$

Vektor poloměru lze zapsat jako součet dvou vektorů: ${\displaystyle \mathbf {r'} _{i))$

\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,

kde je vektor poloměru vzdálenosti mezi starou (procházející těžištěm) a novou osou otáčení. Pak výraz pro moment setrvačnosti nabývá tvaru $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n} m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\součet _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.

Když vezmeme částku, dostaneme $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1 }^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.

Podle definice těžiště pro jeho vektor poloměru $\mathbf {r} _{c}$

\mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i)){\sum \limits _{i}m_{ i}}}.

Protože v souřadnicovém systému s počátkem umístěným v těžišti je vektor poloměru těžiště roven nule, pak je součet roven nule . $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

Pak

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1} ^{n}m_{i},

odkud požadovaný vzorec následuje:

J=J_{C}+md^{2},

kde je známý moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm tělesa. $J_{C}$

Pokud se těleso neskládá z hmotných bodů, ale je tvořeno spojitě rozloženou hmotou, pak je ve všech výše uvedených vzorcích sčítání nahrazeno integrací. Linie uvažování zůstává stejná.

Důsledek . Z výsledného vzorce je zřejmé, že . Proto lze tvrdit, že moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm tělesa je nejmenší ze všech momentů setrvačnosti tělesa k osám majícím daný směr. ${\displaystyle J\geq J_{C))$

Příklad

Moment setrvačnosti tyče kolem osy procházející jejím středem a kolmé k tyči (říkejme jí osa ) je roven $C$

J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.

Pak podle Steinerovy věty bude jeho moment kolem libovolné rovnoběžné osy roven

J=J_{C}+md^{2},

kde je vzdálenost mezi touto osou a osou . Zejména moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose procházející jejím koncem a kolmé k tyči lze nalézt zadáním posledního vzorce : $d$ $C$ $d=L/2$

J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.

Přepočet tenzoru setrvačnosti

Huygens-Steinerův teorém připouští zobecnění momentu tenzoru setrvačnosti , což umožňuje získat tenzor vzhledem k libovolnému bodu z tenzoru vzhledem k těžišti. Nechť je tedy posunutí od středu hmoty ${\hat {J}}_{ij}$ ${\klobouček {I}}_{ij}$ ${\mathbf {a}}$

{\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) ,

kde

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})

je vektor posunutí od středu hmoty a je to Kroneckerův symbol .

\delta _{{ij}}

Jak je vidět, pro diagonální prvky tenzoru (at ) má vzorec pro tuto chvíli tvar Huygens-Steinerovy věty o nové ose. $i=j$

Viz také

Poznámky

↑ Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - 11. vyd. - M .: " Vysoká škola ", 1995. - S. 268-269. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Absolutně tuhé těleso tvořené množinou hmotných bodů je mechanický systém, ve kterém jsou vzdálenosti mezi jeho jednotlivými body konstantní.