Tenzor elektromagnetického pole

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. září 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Tenzor elektromagnetického pole je antisymetrický dvojitě kovariantní tenzor , který je zobecněním síly elektrického pole a indukce magnetického pole pro libovolné transformace souřadnic. Slouží k invariantní formulaci rovnic elektrodynamiky , zejména jej lze použít ke snadnému zobecnění elektrodynamiky na případ přítomnosti gravitačního pole .

Definice

Tenzor elektromagnetického pole je definován vzorcem z hlediska 4-potenciálu

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\částečné A_{\nu )){\částečné x^{\mu ))}-{\frac {\částečné A_{\mu )){\částečné x^{\nu ))}.

Ačkoli je vyjádřen v termínech běžných derivátů spíše než kovariantních derivátů, jedná se o tenzor pod libovolnými transformacemi souřadnic. To vyplývá ze skutečnosti, že stejný výraz lze zapsat pomocí kovariančních derivátů:

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\částečné A_{\nu )){\částečné x^{\mu ))}-{\frac {\částečné A_{\mu }}{\částečné x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.

Pokud uvažujeme 4-potenciál jako 1-formu na časoprostoru , pak je tenzor elektromagnetického pole vyjádřen jako vnější derivace

F=\mathbf {d} A.

Jeho neměnnost je tedy také zřejmá.

Vlastnosti

$F_{{\mu \nu ))$ je antisymetrický tenzor 2. řady, má 6 nezávislých složek.
Transformace souřadnic zachovávají dva invarianty vyplývající z tenzorových vlastností pole [1] :

\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv)),

{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E } \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.

Výraz pro komponenty

Kovariantní složky tenzoru elektromagnetického pole mají tvar

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.

Taková závislost antisymetrického tenzoru na dvou vektorech se běžně zapisuje jako

F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).

Kontravariantní komponenty (v prostoru s Minkowského metrikou ) jsou ve tvaru

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},

který se označuje jako

F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).

Ukazuje se tedy, že vektory elektrického a magnetického pole se v obecném případě lineárních transformací netransformují jako vektory, ale jako složky tenzoru typu (0, 2). Zákon jejich přeměn při přechodu do vztažné soustavy pohybující se rychlostí V podél osy X má tvar

{\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z }'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_ {x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{ 2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}.\end{aligned}}

Aplikace

Z definice přímo vyplývá, že

\mathbf {d} F=0.

V komponentách má tento výraz tvar

\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho )){\partial x^{\nu ))}={\frac {\partial F_{ \mu \rho }}{\částečné x^{\nu }}}+{\frac {\částečné F_{\rho \nu }}{\částečné x^{\mu }}}+{\frac {\částečné F_{\nu \mu }}{\částečné x^{\rho }}}=0,

kde je symbol Levi-Civita pro 4-rozměrný prostor. Pokud tento výraz zapíšeme z hlediska složek vektorů elektrického a magnetického pole, bude se shodovat s první dvojicí Maxwellových rovnic : $\varepsilon _{{\mu \rho \nu \sigma ))$

\operatorname {div} \mathbf {B} =0,

\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)).

Druhá dvojice Maxwellových rovnic je vyjádřena pomocí tenzoru elektromagnetického pole as

\nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },

kde je 4proudový vektor. $j^{\mu }$

Můžete je také napsat přes Hodgeovu hvězdičku :

d*F={\frac {4\pi }{c}}J.

Lorentzova síla je vyjádřena pomocí 4-rychlostního vektoru částice a náboje vzorcem

{\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.

Viz také

Tenzor elektromagnetické energie-hybnosti

Poznámky

↑ Invarianty elektromagnetického pole // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .