Kovariantní vektor

V lineární algebře je kovariantní vektor na vektorovém prostoru stejný jako lineární forma (lineární funkcionál) na tomto prostoru.

V diferenciální geometrii je kovariantní vektor na diferencovatelném manifoldu hladkým úsekem svazku kotangens. Ekvivalentně, kovariantní vektor na varietě M je hladké zobrazení celkového prostoru tečného svazku M do R , jehož omezení na každou vrstvu je lineární funkcionál na prostoru tečny. Bude to napsáno takto:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

kde α x je lineární.

Ko- a kontravariantní vektory v prostorech (na manifoldech) s nedegenerovanou metrikou

Dále se předpokládá, že na prostoru, ve kterém existují popsané objekty (nebo na varietě, v jejímž tečném prostoru existují), je dána nedegenerovaná metrika.

Korespondence mezi vektory a kovektory

Je-li definován nedegenerovaný metrický tenzor , pak lze formálně „kovariantní vektor“ a „kontravariantní vektor“ považovat za jednoduše odlišné reprezentace (záznamy ve formě sady čísel) stejného geometrického objektu – obyčejného vektoru . To znamená, že stejný vektor lze zapsat jako kovariantní (tj. prostřednictvím sady kovariančních souřadnic) nebo kontravariantní (tj. prostřednictvím sady kontravariančních souřadnic). Transformace z jedné reprezentace na druhou se provádí jednoduše konvolucí s metrickým tenzorem :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(zde a níže máme na mysli sčítání přes opakovaný index podle Einsteinova pravidla).

Rozdíl mezi vektory a covektory

Významově se vektory a kovektory rozlišují podle toho, která z reprezentací je pro ně přirozená. Takže pro covektory - například pro gradient - je expanze v duální bázi přirozená, protože jejich přirozená konvoluce (skalární součin) s běžným vektorem (například posunutím) se provádí bez účasti metriky, jednoduše sečtením násobených složek. Pro obyčejné vektory (ke kterým patří i posunutí v prostorových souřadnicích ) je expanze v hlavní bázi přirozená, protože se za účasti metriky sbíhají s jinými běžnými vektory, jako je vektor posunutí v prostorových souřadnicích. Například skalár se získá (jako totální diferenciál ) bezmetrickou kontrakcí kovariantního vektoru , což je přirozená reprezentace gradientu 1-formy působící na skalární pole, s kontravariančním vektorem , což je přirozená reprezentace obvyklého vektoru posunutí v souřadnicích; zároveň se zhroutí sám se sebou pomocí metriky: , což je v plném souladu s tím, že je kontravariantní. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\částečné _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \částečné _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Pokud mluvíme o běžném fyzickém prostoru, jednoduchým znakem kovariance/kontravariance vektoru je, jak je jeho přirozená reprezentace konvolvována se sadou souřadnic prostorového posunutí , což je příklad kontravariančního vektoru. Ty, které se konvolují prostým součtem, bez účasti metriky, jsou kovariantní vektory (1-formy); jinak (konvoluce vyžaduje účast metriky) jsou to kontravariantní vektory. Pokud jsou prostor a souřadnice zcela abstraktní a neexistuje žádný způsob, jak rozlišit mezi hlavní a duální bází, s výjimkou libovolného podmíněného výběru, pak smysluplné rozlišení mezi kovariantními a kontravariančními vektory zmizí nebo se stane také čistě podmíněným. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

O něco výše se dotkneme otázky, zda je pro něj přirozená právě reprezentace, ve které objekt vidíme. Přirozené pro běžný vektor je kontravariantní zobrazení, pro kovektor je kovariantní.

Viz také

Diferenciální forma

Viz také

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .