Norma (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. června 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Norma je funkcionál definovaný na vektorovém prostoru a zobecňující pojetí délky vektoru nebo absolutní hodnoty čísla .

Definice

Vektorová norma

Norma ve vektorovém prostoru nad polem reálných nebo komplexních čísel je funkcionál s následujícími vlastnostmi: $PROTI\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\šipka doprava x=0_{V};$
$\forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( trojúhelníková nerovnost );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Tyto podmínky jsou axiomy normy .

Vektorový prostor s normou se nazývá normovaný prostor a podmínky (1–3) se také nazývají axiomy normovaného prostoru.

Z axiomů normy zřejmým způsobem vyplývá vlastnost nezápornosti normy:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Z třetí vlastnosti totiž plyne: , az vlastnosti 2 - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Nejčastěji je norma označena ve tvaru :. Zejména je normou prvku vektorového prostoru . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $X$ $\mathbb {R}$

Vektor s jednotkovou normou se nazývá jednotkový nebo normalizovaný . $\left(\|x\|=1\right)$

Libovolný nenulový vektor lze normalizovat, tedy vydělit vlastní normou: vektor má jednotkovou normu. Z geometrického hlediska to znamená, že vezmeme souměrný vektor jednotkové délky. $X$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Maticová norma

Maticová norma je reálné číslo , které splňuje první tři z následujících podmínek: $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ a pouze pro ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , kde ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Pokud je splněna i čtvrtá vlastnost, norma se nazývá submultiplikativní . O maticové normě složené jako operátorová norma se říká , že je podřízená normě používané ve vektorových prostorech. Je zřejmé, že všechny normy podřízené matice jsou submultiplikativní.

Maticová norma z se nazývá konzistentní s vektorovou normou z a vektorovou normou z , pokud je pravdivá: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\times n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Axe\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

pro všechny . $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Provozovatelská norma

Normou operátora je číslo , které je definováno takto: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Axe\|

, kde je operátor jednající z normovaného prostoru do normovaného prostoru .

A

L

K

Tato definice je ekvivalentní následujícímu:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Axe\|}{\|x\|}}

Vlastnosti operátorských norem:

$\|A\|\geqslant 0$ a pouze pro ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , kde ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

V případě konečných rozměrů operátor v nějaké bázi odpovídá matici — matici operátoru. Pokud norma na prostoru (prostorech), kde operátor působí, připouští jeden ze standardních výrazů v bázi, pak vlastnosti operátorovy normy opakují podobné vlastnosti maticové normy.

Vlastnosti normy

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [kosinus úhlu]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Šipka doprava \|x\|\geqslant 0$

Ekvivalence norem

Dvě normy a na prostoru se nazývají ekvivalentní , pokud existují dvě kladné konstanty a takové , že pro všechny . Ekvivalentní normy definují stejnou topologii v prostoru. V konečněrozměrném prostoru jsou všechny normy ekvivalentní [1] . $p$ $q$ $PROTI$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \in V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Příklady

Lineární normované prostory

Jakýkoli pre-Hilbertův prostor lze považovat za normovaný , protože skalární součin vytváří přirozenou normu

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

Hölderovy normy -dimenzionálních vektorů (rodina): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

kde (obvykle se předpokládá, že jde o přirozené číslo). Zejména: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\součet _{{i}}|x_{{i}}|$ , která se také nazývá metrika L1 , norma $\ell _{1}$ nebo vzdálenost na Manhattanu . Pro vektor je to součet modulů všech jeho prvků.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , která se také nazývá metrika L2 , norma $\ell _{2}$ nebo euklidovská norma . Je geometrická vzdálenost mezi dvěma body ve vícerozměrném prostoru, vypočtená pomocí Pythagorovy věty.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (toto je extrémní případ ). $p\rightarrow \infty$

Normy funkcí v prostoru reálných (nebo komplexních) spojitých funkcí na intervalu [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - ve smyslu této normy prostor funkcí spojitých na segmentu tvoří
úplný lineární prostor . Totéž nelze říci o následujících dvou příkladech normy v tomto prostoru, které jsou nicméně legitimní: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

Podobně můžeme zavést normy pro konečné-dimenzionální vektorové funkce konečných-dimenzionálních vektorových argumentů, nahrazení a integraci přes segment integrací přes doménu (maximum na segmentu je v odpovídajícím případě maximum na doméně ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"Norma L0"

Speciálním případem je (L0-"norma"), definovaný jako počet nenulových prvků vektoru. Přísně vzato, toto není norma, protože třetí axiom normy neplatí. V zásadě se tento typ „normy“ používá v problémech s řídkým kódováním, zejména v Compressive sensing , kde potřebujete najít nejřídší reprezentaci vektoru (s největším počtem nul), tedy s nejmenší -normou. Pomocí této "normy" lze určit Hammingovu vzdálenost . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Některé typy maticových norem

Vygenerované normy : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Axe\|_{{p}}$
- $p=1$ : - norma, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\součet _{i}|a_{{ij}}|$
- $p=2$ ( Euklidovská norma ) a (čtvercové matice), podřízená norma matice se nazývá spektrální norma . Spektrální norma matice se rovná největší singulární hodnotě matice nebo druhé odmocnině největší vlastní hodnoty kladné semidefinitní matice : , kde označuje matici konjugovanou s maticí . $m=n$ $A$ $A$ $A^{\dagger }A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\dagger }A)))$ $A^{\dagger }$ $A$
- $p=\infty$ : -norma $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\součet _{j}|a_{{ij}}|$

Zde je matice konjugovaná s , a je stopou matice .

A^{\dagger }

A

{\mathrm {Tr))

Element -wise -norm ( ): $p$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Frobeniova norma : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A))$

Související pojmy

Topologie prostoru a norma

Norma definuje metriku na prostoru (ve smyslu distanční funkce metrického prostoru ), čímž generuje metrický prostor, a tedy topologii , jejímž základem jsou všechny druhy otevřených kuliček, tedy množiny formulář . Pojmy konvergence definované v jazyce topologie množin v takové topologii a definované v jazyce normy se shodují. $B(x,r)=\{y\dvojtečka \|xy\|<r\}$

Viz také

Poznámky

↑ M. Verbitsky. Úvod do topologie. Problémy a věty . Litr, 2018-12-20. - S. 163-164. — 346 s.